a) Ta có: 4^{2x – 1} = 8^{x + 3} $\iff$ 2^{2(2x – 1)} = 2^{3(x + 3)}

$\iff$ 2(2x – 1) = 3(x + 3) $\iff$ 4x – 2 = 3x + 9 $\iff$ x = 11.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 11.

b) Ta có: $9^{2x}\cdot {27}^{x^2}=\frac{1}{3}\iff 3^{4x}\cdot 3^{3x^2}=3^{-1}\iff 3^{3x^2+4x}=3^{-1}\iff 3x^2+4x=-1$

$\iff 3x^2+4x+1=0\iff \left(3x+1\right)\left(x+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{1}{3}\\ x=-1\end{array}\right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{1}{3};-1\right\}$  .

c) Ta có: ${\left(e^4\right)}^x\cdot e^{x^2}=e^{12}\iff e^{4x}\cdot e^{x^2}=e^{12}\iff e^{x^2+4x}=e^{12}\iff x^2+4x=12$

$\iff x^2+4x-12=0\iff \left(x-2\right)\left(x+6\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-6\end{array}\right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−6; 2}.

d) 5^{2x – 1} = 20 $\iff$ 2x – 1 = log₅ 20 $\iff$ 2x = log₅ 20 + 1$\iff$ $x=\frac{1}{2}\left({\log }_{5}20+1\right)$ .

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{2}\left({\log }_{5}20+1\right)$  .

a) Điều kiện: 4x – 1 > 0 $\iff x>\frac{1}{4}$  .

Ta có: log₃ (4x – 1) = 2 $\iff$ 4x – 1 = 3² $\iff$ 4x – 1 = 9 $\iff$ 4x = 10 $\iff$  $x=\frac{5}{2}$(thỏa mãn điều kiện).

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{5}{2}$ .

b) Điều kiện:  $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-1>0\\ 3x+3>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x-1\right)\left(x+1\right)>0\\ x+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x>-1\end{array}\right.\iff x>1$.

Ta có: log₂ (x² – 1) = log₂ (3x + 3) $\iff$ x² – 1 = 3x + 3 $\iff$ x² – 3x – 4 = 0

$\iff$ (x + 1)(x – 4) = 0 $\iff$ x = −1 (loại) hoặc x = 4 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.

c) Điều kiện: 0 < x ≠ 1.

Ta có: log_x 81 = 2 $\iff$ 81 = x² $\iff$ x = 9 (thỏa mãn) hoặc x = −9 (loại).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 9.

d) Ta có: log₂ 8^x = −3 $\Rightarrow$ 8^x = 2⁻³ $\iff$2^3x = 2⁻³  $\iff$3x = −3 $\iff$x = −1.

Vậy nghiệm của phương trình là x = −1.

a)   $2^{2x-3}>\frac{1}{4}\iff 2^{2x-3}>2^{-2}$$\iff 2x-3>-2\iff 2x>1\iff x>\frac{1}{2}$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{1}{2}$  .

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5x-6}\iff x^2\le 5x-6 \iff x^2-5x+6\le 0\iff \left(x-2\right)\left(x-3\right)\le 0$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2; 3].

c) 25^x ≤ 5^{4x − 3}  Û 5^2x ≤ 5^{4x − 3}  Û 2x ≤ 4x – 3 Û 2x ≥ 3 Û x ≥ 1,5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [1,5; +¥).

d) Đặt 3^x  = t (t > 0).

Khi đó bất phương trình trở thành t² – t – 6 ≤ 0 Û (t – 3)(t + 2) ≤ 0 Û −2 ≤ t ≤ 3.

Mà t > 0 nên ta có 0 < t ≤ 3.

Khi đó, ta có 3^x ≤ 3 Û x ≤ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−¥; 1].

a) Điều kiện $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}$  .

Ta có log₃ (2x + 1) ≥ 2 Û 2x + 1 ≥ 3² Û 2x + 1 ≥ 9 Û 2x ≥ 8 Û x ≥ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được x ≥ 4.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [4; +¥).

b) Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}3x-1>0\\ 9-2x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x<\frac{9}{2}\end{array}\right.\iff \frac{1}{3}<x<\frac{9}{2}$ .

Ta có: log₂ (3x – 1) < log₂ (9 – 2x) ${\log }_2$ 3x – 1 < 9 – 2x ${\log }_2$ 3x + 2x < 9 + 1 ${\log }_2$ 5x < 10 ${\log }_2$x < 2.

Kết hợp với điều kiện, ta được $\frac{1}{3}<x<2$  .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  $\left(\frac{1}{3};2\right)$.

c) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 4x-5>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>\frac{5}{4}\end{array}\right.\iff x>\frac{5}{4}$ .

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)\le {\log }_{\frac{1}{2}}\left(4x-5\right)\iff x+1\ge 4x-5\iff 3x\le 6\iff x\le 2$ .

Kết hợp điều kiện, ta có: $\frac{5}{4}<x\le 2$  .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{5}{4};2\right]$ .

a) Điều kiện: 3^x – 9 ≠ 0 $\Rightarrow$ 3^x ≠ 9 $\Rightarrow$3^x ≠ 3² $\Rightarrow$ x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số là ℝ\{2}.

b) Điều kiện: 4 – x² > 0 $\Rightarrow$(2 – x)(2 + x) > 0 $\Rightarrow$−2 < x < 2.

Vậy tập xác định của hàm số là (−2; 2).

c) Điều kiện: $\frac{1}{5-x}>0\iff 5-x>0\iff x<5$  .

Vậy tập xác định của hàm số là (−¥; 5).

d) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ {\log }_4\left(x-1\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ {\log }_4\left(x-1\right)\ne {\log }_{4}1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x-1\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x\ne 2\end{array}\right.$ .

Vậy tập xác định của hàm số là (1; +¥)\{2}.

a) Một máy bay đang chịu áp suất khí quyển 320 mmHg tức là p = 320 thay vào công thức p(h) = 760 × e^−0,145h ta được: 760 × e^−0,145h = 320 $\iff$ e^−0,145h = 320 : 760

$\iff$ $e^{-0,145h}=\frac{8}{19}\iff -0,145h=\ln \frac{8}{19}\iff h=\ln \frac{8}{19}:\left(-0,145\right)\iff h\approx 5,965$  (km).

Vậy máy bay ở độ cao khoảng 5,965 km.

b) Một người đứng trên đỉnh của một ngọn núi và chịu áp suất khí quyển 667 mmHg tức p = 667 thay vào công thức p(h) = 760 × e^−0,145h ta được: 760 × e^−0,145h = 667 (km).

$\iff e^{-0,145h}=\frac{667}{760}$$\iff -0,145h=\ln \frac{667}{760}\iff h=\ln \frac{667}{760}:\left(-0,145\right)\iff h\approx 0,9$(km)

Vậy chiều cao của ngọn núi khoảng 0,9 km.

a) Chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng tức là V = 500 thay vào công thức

V(t) = 730 × (0,82)^t  ta được 500 = 730 × (0,82)^t $\iff$ ${\left(0,82\right)}^t=\frac{50}{73}\iff t={\log }_{0,82}\frac{50}{73}\iff t\approx 1,91$ (năm).

Vậy chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng sau khoảng 2 năm.

b) Chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng tức là V = 200 thay vào công thức

V(t) = 730 × (0,82)^t ta được 200 = 730 × (0,82)^t $\iff$${\left(0,82\right)}^t=\frac{20}{73}\iff t={\log }_{0,82}\frac{20}{73}$$\iff t\approx 6,52$ (năm).

Vậy chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng sau khoảng 7 năm.

Chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 là:

C(10) = 90 – 50e⁻¹⁰ » 89,998 (tỉ đồng).

Vậy chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 sau khi thành lập khoảng 89,998 tỉ đồng.

Vì máu của người bình thường có độ pH từ 7,30 đến 7,45 nên 7,30 ≤ −log[H⁺] ≤ 7,45 $\iff$ −7,45 ≤ log[H⁺] ≤ −7,30

$\iff$ 10^−7,45 ≤ [H⁺] ≤ 10^−7,30

$\iff$ 3,55×10⁻⁸ ≤ [H⁺] ≤ 5,01×10⁻⁸.

Vậy nồng độ ion hydrogen trong máu người bình thường nhận giá trị trong đoạn [3,55×10⁻⁸ ; 5,01×10⁻⁸].

a) Âm thanh tàu điện ngầm có mức cường độ âm là 100 dB tức là L = 100 thay vào công thức $L=10\log \frac{I}{I_0}$ ta được: $100=10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\iff 10=\log \frac{I}{{10}^{-12}}\iff \frac{I}{{10}^{-12}}={10}^{10}$$\iff I={10}^{10}\cdot {10}^{-12}\iff I=0,01$ (W/m²).

Vậy cường độ âm của âm thanh tàu điện ngầm có mức cường độ âm 100 dB là 0,01 W/m².

b) Âm thanh trên một tuyến đường giao thông có mức cường độ âm thay đổi từ 70 dB đến 85 dB tức là $70\le 10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 85\iff 7\le \log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 8,5\iff {10}^7\le \frac{I}{{10}^{-12}}\le {10}^{8,5}$ .

$\iff {10}^7\cdot {10}^{-12}\le I\le {10}^{8,5}\cdot {10}^{-12}\iff {10}^{-5}\le I\le {10}^{-3,5}$

Vậy cường độ âm thay đổi trong đoạn [10⁻⁵; 10^−3,5].