Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là:

$u_n=u_1\cdot q^{n-1}=3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=\frac{3\cdot 2^{n-1}}{3^{n-1}}=\frac{2^{n-1}}{3^{n-2}}$.

Ta có: $u_5=u_1\cdot q^4=-3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{-3\cdot 2^4}{3^4}=-\frac{16}{27}$.

Ta có: u₅ = u₁.q⁴ = u₂.q³

Suy ra $q^3=\frac{u_5}{u_2}=\frac{16}{\frac{1}{4}}=64$ nên q = 4

Do đó $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{\frac{1}{4}}{4}=\frac{1}{16}$.

Vậy q = 4 và $u_1=\frac{1}{16}.$ 

Ta có: u_n = u₁.q^n‒1 nên 1.2^n‒1 = 1 024 suy ra 2^n-1 = 2¹⁰

Suy ra n = 11

Vậy số 1 024 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân đó.

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1 và công bội là q. Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_5-u_2=78\\ u_6-u_3=234\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot q^4-u_1\cdot q=78\\ u_1\cdot q^5-u_1\cdot q^2=234\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot q\cdot \left(q^3-1\right)=78\\ u_1\cdot q^2\cdot \left(q^3-1\right)=234\end{array}\right.$

Suy ra $\frac{1}{q}=\frac{78}{234}=\frac{1}{3},$ do đó q = 3.

Với q = 3 thì u1.3.(33 – 1) = 78, suy ra u1 = 1.

Vậy u1 = 1 và q = 3.

a) Ta có u₃ = u₁.q² = 2.q² = 18, do đó q² = 9 suy ra q = 3 hoặc q = ‒3.

b) Nếu q = 3 thì $S_{10}=\frac{2\left(1-3^{10}\right)}{1-3}=59048$.

Nếu q = ‒3 thì $S_{10}=\frac{2\left[1-{\left(-3\right)}^{10}\right]}{1-\left(-3\right)}=-29524$.

Số tiền ban đầu T₁ = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Năm thu được là:

T₂ = 100 + 100.8% = 100.(1 + 8%) (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Năm thu được là:

T₃ = 100.(1 + 8%) + 100.(1 + 8%).8% = 100.(1 + 8%)² (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Năm thu được là:

T₄ = 100.(1 + 8%)² + 100.(1 + 8%)².8% = 100.(1 + 8%)³ (triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Năm thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T₁ = 100 và công bội q = 1 + 8% có số hạng tổng quát là:

T_{n + 1} = 100.(1 + 8%)ⁿ (triệu đồng).

Vậy số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận được sau 10 năm là:

T_{10 + 1} = 100.(1 + 8%)¹⁰ ≈ 215,892500 triệu = 215 892 500 đồng.

Gọi un­ là độ dài dây kéo sau n lần rơi xuống (n ∈ ℕ)

Ta có: u­1 = 100 (m).

Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: u2 = 100.80% (m).

Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: u3 = 100.80%.80% = 100.(80%)2 (m).

...

Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q = 0,8%, có công thức tổng quát un = 100.(0,8%)n-1 (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là:

$S_{10}=\frac{80\left(1-{\mathrm{0,8}}^{10}\right)}{1-\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{357,05}\left(\text{m}\right)$.