a) Không gian mẫu của phép thử là  $n\left(\Omega \right)=63$.

Xác suất của biến cố “Đoàn viên được gặp đến từ miền Nam” là  $\frac{19}{63}$. 

Xác suất của biến cố “Đoàn viên được gặp đến từ miền Trung” là  $\frac{19}{63}$.

Xác suất của biến cố “Đoàn viên được gặp đến từ miền Nam hoặc miền Trung” là:

 $\frac{19}{63}+\frac{19}{63}=\frac{38}{63}$.

b) Không gian mẫu của phép thử là  $n\left(\Omega \right)=C_{63}^2.$ 

Số trường hợp xảy ra của biến cố “ Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Bắc” là $C_{25}^2$.

Xác suất của biến cố “ Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Bắc” là

 $\frac{C_{25}^2}{C_{63}^2}=\frac{100}{651}$.

Số trường hợp xảy ra của biến cố “ Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Nam” là $C_{19}^2$.

Xác suất của biến cố “ Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Nam” là

$\frac{C_{19}^2}{C_{63}^2}=\frac{19}{217}$ .

Xác suất của biến cố “Hai đoàn viên được gặp cùng đến từ miền Bắc hoặc cùng đến từ miền Nam” là

$\frac{100}{651}+\frac{19}{217}=\frac{157}{651}$ .

a) Không gian mẫu của phép thử là  $n\left(\Omega \right)=C_{10}^2.$

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có màu đỏ” là $C_5^3$.

Xác suất của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có màu đỏ” là

 $\frac{C_5^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{12}$.

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có màu đỏ” là  $C_3^3$.

Xác suất của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có màu vàng” là

 $\frac{C_3^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{120}$.

Xác suất của biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra đều có cùng màu” là

 $\frac{1}{12}+\frac{1}{120}=\frac{11}{120}$.

b) Số trường hợp xảy ra của biến cố “Không có viên bi xanh nào được lấy ra” là $C_8^3$.

Xác suất của biến cố “Không có viên bi xanh nào được lấy ra” là

 $\frac{C_8^3}{C_{10}^3}=\frac{7}{15}$.

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Không có viên bi xanh nào được lấy ra” là $2C_8^2$.

Xác suất của biến cố “Chỉ có một viên bi xanh được lấy ra” là

 $\frac{2C_8^2}{C_{10}^3}=\frac{7}{15}$.

Xác suất của biến cố “Có không quá 1 viên bi xanh trong 3 viên bi lấy ra” là

 $\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$.

c) Gọi A là biến cố “Có đúng 2 màu trong 3 viên bi lấy ra”; B là biến cố “Cả 3 viên bi lấy ra có cùng màu” và C là biến cố “3 viên bi lấy ra có cả 3 màu”.

Ta thấy  $A=B\cup C$. Khi đó:  $P\left(B\right)=\frac{11}{120}$;

Số trường hợp xảy ra của biến cố C là  $n\left(C\right)=C_2^1{C}_5^1{C}_3^1$.

 $P\left(C\right)=\frac{C_2^1{C}_5^1{C}_3^1}{C_{10}^3}=\frac{1}{4}$.

Do B và C là hai biến cố xung khắc nên

 $P\left(A\right)=P\left(B\cup C\right)=P\left(B\right)+P\left(C\right)=\frac{11}{120}+\frac{1}{4}=\frac{41}{120}$.

Vậy xác suất của biến cố “Có đúng 2 màu trong 3 viên bi lấy ra” là  $\frac{41}{120}$.

Không gian mẫu của phép thử là  $n\left(\Omega \right)=\mathrm{4.3.2}=24$ (số).

Gọi B là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 2”, C là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 3”.

Do đó, BC là biến cố “Số tạo thành chia hết cho 6”.

Biến cố B xảy ra khi chữ số hàng đơn vị của số tạo thành là 4, có thể xếp được  $n\left(B\right)=3.2=6$ số chia hết cho 2 nên $P\left(B\right)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.

Biến cố B xảy ra khi 3 chữ số của số tạo thành là 1, 4, 7, có thể xếp được  $n\left(B\right)=3.2=6$ số chia hết cho 3 nên $P\left(C\right)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.

Có thể tạo thành 2 số chia hết cho 6 là 714 và 174  nên  $P\left(BC\right)=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$.

Vậy  $P\left(A\right)=P\left(B\cup C\right)=P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(BC\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên  $\overline{A}$ và B; A và  $\overline{B}$;  $$$\overline{A}$ và  $\overline{B}$ cũng độc lập.

a) Ta có  $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,4=0,6$.

•  $\overline{A}$ và B độc lập nên  $P\left(B\right)=\frac{P\left(\overline{A}B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,3}{0,6}=0,5$.

• A và B độc lập nên  $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)$

.

b) Vì  $\overline{A}$ và B độc lập nên  $P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)=0,4$

Hay  $P\left(B\right)=\frac{0,4}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{0,4}{1-P\left(A\right)}$.

Khi đó  $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)=0,9$

 $\iff P\left(A\right)+\frac{0,4}{1-P\left(A\right)}-P\left(A\right).\frac{0,4}{1-P\left(A\right)}=0,9$

 $\iff \frac{5P\left(A\right)+2}{5}=0,9$

 $\iff P\left(A\right)=0,5$.

Với  $P\left(A\right)=0,5\Rightarrow P\left(B\right)=\frac{0,4}{0,5}=0,8$; $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)=0,5.0,8=0,4$ 

Sơ đồ hình cây:

Xác suất của biến cố “Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm” là:

 $\frac{1}{6}+\frac{5}{6}.\frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^2.\frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{91}{216}$.

Vậy xác suất của biến cố “Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm” là  $\frac{91}{216}$.

Không gian mẫu của phép thử là  $n\left(\Omega \right)=C_{100}^{95}.$

Biến cố A xảy ra khi 3 số may mắn nằm trong 95 số mà Dương không chọn. Số trường hợp xảy ra của biến cố A là  $n\left(C\right)=C_{95}^3$.

Do đó xác suất của biến cố A là:  $P\left(A\right)=\frac{C_{95}^3}{C_{100}^3}\approx 0,856$.

Biến cố B xảy ra khi trong 3 số may mắn, có 1 số Dương đã chọn, 2 số còn lại nằm trong 95 số mà Dương không chọn. Số trường hợp xảy ra của biến cố B là  $n\left(B\right)=C_{95}^1.C_{95}^2$.

Do đó, xác suất của biến cố B là:  $P\left(B\right)=\frac{C_{95}^1{C}_{95}^2}{C_{100}^3}\approx 0,138$.

Gọi n là số quả bóng đỏ trong hộp. Tổng số quả bóng trong hộp là n+3 quả.

Không gian mẫu của phép thử là  $n\left(\Omega \right)=C_{n+3}^2.$

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Lấy được 2 quả bóng xanh” là $C_3^2$.

Xác suất lấy được 2 quả bóng xanh là  $\frac{C_3^2}{C_{n+3}^2}$.

Số trường hợp xảy ra của biến cố “Lấy được 2 quả bóng đỏ” là $C_n^2$.

Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ là  $\frac{C_n^2}{C_{n+3}^2}$.

Theo đề bài, ta có:

 $\frac{C_3^2}{C_{n+3}^2}.5=\frac{C_n^2}{C_{n+3}^2}\iff \frac{n\left(n-1\right)}{2}=15\iff n=6$ (chọn) hoặc n = 5 (loại).

Khi đó, xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu” là

 $\frac{C_3^2}{C_{n+3}^2}+\frac{C_n^2}{C_{n+3}^2}=\frac{C_3^2}{C_{6+3}^2}+\frac{C_6^2}{C_{6+3}^2}=\frac{C_3^2}{C_9^2}+\frac{C_6^2}{C_9^2}=0,5$.

Vậy xác suất của biến cố “Lấy được 2 quả bóng có cùng màu” là 0,5.

Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 5”, C là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 3”.

Khi đó A là biến cố đối của biến cố $B\cup C$.

• Các số chấm không chia hết cho 5 là 1, 2, 3, 4, 6 nên  $P\left(B\right)=\frac{5}{6}$.

• Các số chấm không chia hết cho 3 là 1, 2, 4, 5 nên  $P\left(C\right)=\frac{4}{6}$.

• Các số chấm không chia hết cho 3 và 5 là 1, 2, 4 nên

 $P\left(BC\right)=\frac{3}{6}$.

Ta có  $P\left(B\cup C\right)=P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(BC\right)$

 $={\left(\frac{5}{6}\right)}^3+{\left(\frac{4}{6}\right)}^3-{\left(\frac{3}{6}\right)}^3=\frac{3}{4}$.

Do đó xác suất của biến cố A là

 $P\left(A\right)=1-P\left(B\cup C\right)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.

a) Gọi A là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76”. A₁ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4” và A₂ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76”.

Khi đó $A=A_1\cup A_2$.

Không gian mẫu của phép thử là $n\left(A\right)=C_{40}^2$.

Biến cố A₁ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó số trường hợp xảy ra của biến cố A₁ là 1. Từ đó

 $P\left(A_1\right)=\frac{1}{C_{40}^2}=\frac{1}{780}$.

Biến cố A­₂ xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 37 và 40; 38 và 40; 39 và 40; 38 và 39. Do đó số trường hợp xảy ra của biến cố A₂ là 4. Từ đó

 $P\left(A_2\right)=\frac{4}{C_{40}^2}=\frac{1}{195}$.

Do A₁ và A₂ là hai biến cố xung khắc nên

 $P\left(A\right)=P\left(A_1\cup A_2\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)$

b) Gọi B là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10”, B₁ là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5” và B₂ là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2”.

Khi đó B là biến cố đối của  $B_1\cup B_2$.

Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho 5 và 32 số không chia hết cho 5 nên  $n\left(B_1\right)=C_{32}^2$

 $P\left(B_1\right)=\frac{C_{32}^2}{C_{40}^2}=\frac{124}{195}$.

Từ 1 đến 40 có 20 số chia hết cho 2 và 20 số không chia hết cho 2 nên  $n\left(B_2\right)=C_{20}^2$

 $P\left(B_2\right)=\frac{C_{20}^2}{C_{40}^2}=\frac{19}{78}$.

Từ 1 đến 40 có 4 số chia hết cho 10 nên số các số không chia hết cho 2 và 5 là  $32-20+4=16$ số. Từ đó ta có

 $P\left(B_1{B}_2\right)=\frac{C_{16}^2}{C_{40}^2}=\frac{2}{13}$.

Ta có  $P\left(B_1\cup B_2\right)=P\left(B_1\right)+P\left(B_2\right)-P\left(B_1{B}_2\right)$

 $=\frac{124}{195}+\frac{19}{78}-\frac{2}{13}=\frac{283}{390}$.

Vậy xác suất của biến cố B “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10” là

 $P\left(B\right)=1-P\left(B_1\cup B_2\right)=1-\frac{283}{390}=\frac{107}{390}$.