Người ta sẽ gọi tập gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ là tập số thực.

Vậy tập số thực là gì thì chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về bài học hôm nay.

Các số là số hữu tỉ là $\frac{2}{3};3,\left(45\right);-45;0$.

Các số là số vô tỉ là $\sqrt{2};-\sqrt{3};\pi$.

a) $\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$ đây là một phát biểu sai vì $\sqrt{3}$ không phải số hữu tỉ.

Phát biểu đúng là: $\sqrt{3}\in ℝ$ hoặc $\sqrt{3}\in I$ hoặc $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$.

b) $\sqrt{3}\in ℝ$ đây là một phát biểu đúng vì $\sqrt{3}$ là số thực.

c) $\frac{2}{3}\notin ℝ$ đây là một phát biểu sai vì $\frac{2}{3}$ là số hữu tỉ nên $\frac{2}{3}$ là số thực

Phát biểu đúng $\frac{2}{3}\in ℝ$ hoặc $\frac{2}{3}\in \mathbb{Q}$.

d) $-9\in ℝ$ đây là một phát biểu đúng và -9 là số hữu tỉ nên nó là số thực.

+) Ta so sánh 3,14 và 3,1415

Ta có: 3,14 = 3,140

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần nghìn. Mà 1 > 0 nên 3,140 < 3,1415 hay 3,14 < 3,1415.

+) Ta so sánh 3,1415 và 3,141515

3,1415 = 3,14150

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần trăm nghìn. Mà 0 < 1 nên 3,14150 < 3,141515 hay 3,1415 < 3,141515

Theo tính chất bắc cầu thì 3,14 < 3,141515

Sắp xếp: 3,14 < 3,1415 < 3,141515.

a) 4,(56) và 4,56279

Ta có:

4,(56) = 4,5656…

Ta đi so sánh 4,5656… và 4,56279.

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần nghìn. Mà 5 > 2 nên 4,5656… > 4,56279 hay 4,(56) > 4,56279.

b) -3,(65) và -3,6491

Ta có: -3,(65) = -3,6565…

Ta đi so sánh 3,6565… và 3,6491

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần trăm. Mà 5 > 4 nên 3,6565… > 3,6491 hay -3,6565… < -3,6491 nên -3,(65) < -3,6491.

c) 0,(21) và 0,2(12)

Ta có: 0,(21) = 0,212121… và 0,2(12) = 0,21212121…

Vậy 0,(21) = 0,29(12).

d) $\sqrt{2}$ và 1,42

Ta có: $\sqrt{2}\approx 1,\mathrm{414213562...}$

Do 1,414213562… < 1,42 nên $\sqrt{2}<1,42.$

Độ dài a của cạnh hình vuông là:

$a=\sqrt{5}=2,\mathrm{236067977...}$(m)

Ta đi so sánh độ dài cạnh hình vuông a = 2,236067… m và độ dài b = 2,361m.

Ta có:

a = 2,236067…

b = 2,361

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần mười. Vì 2 < 3 nên 2,236067… < 2,361. Do đó độ dài a bé hơn độ dài b.

Ta quan sát thấy hình vuông trong hình có độ dài cạnh là 1 nên độ dài đường chéo của nó là $\sqrt{2}$. Mặt khác, ta thấy độ dài đường chéo của hình vuông bằng độ dài cạnh OA. Do đó độ dài cạnh OA = $\sqrt{2}$.

Mà $\sqrt{2}$ không phải số hữ tỉ nên OA không phải số hữu tỉ.

Ta có: $\sqrt{2}=1,\mathrm{41421...}$ và $\frac{3}{2}$ = 1,5 nên$\frac{3}{2}>\sqrt{2}$ do đó, $\sqrt{2}$ và $\frac{3}{2}$ đều nằm về bên phải điểm 0 và $\sqrt{2}$ nằm gần về phía 0 hơn $\frac{3}{2}$. Do đó, ta nói $\sqrt{2}$ nằm trước $\frac{3}{2}$ hay $\frac{3}{2}$ nằm sau $\sqrt{2}$.

Độ dài đoạn thẳng OA là 4,5 đơn vị.

Độ dài đoạn thẳng OA’ là 4,5 đơn vị.

Do đó, độ dài OA bằng với độ dài OA’.

Số đối của số 5,12 là -5,12.

Số đối của số $\pi$ là số $-\pi$.

Số đối của số $-\sqrt{13}$ là số $\sqrt{13}$.

Ta có:

Số đối của $\sqrt{2}$ là $-\sqrt{2}$.

Số đối của $\sqrt{3}$ là $-\sqrt{3}$.

Vì 3 > 2 nên $\sqrt{3}>\sqrt{2}$. Do đó, $-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$

Khoảng cách từ điểm 0 đến điểm $\sqrt{2}$ là $\sqrt{2}$.

Khoảng cách từ điểm 0 đến điểm -$\sqrt{2}$ là $\sqrt{2}$.

Do đó khoảng cách từ điểm 0 đến điểm $\sqrt{2}$ và khoảng cách từ điểm 0 đến điểm $-\sqrt{2}$ là bằng nhau vì đều bằng $\sqrt{2}$.

Giá trị tuyệt đối của -3,14 là 3,14 hay ta viết là |-3,14| = 3,14.

Giá trị tuyệt đối của 41 là 41 hay ta viết là |41| = 41.

Giá trị tuyệt đối của -5 là 5 hay ta viết là |-5| = 5.

Giá trị tuyệt đối của 1,(2) là 1,(2) hay ta viết là |1,(2)| = 1,(2).

Giá trị tuyệt đối của -$\sqrt{5}$ là $\sqrt{5}$hay ta viết là |-$\sqrt{5}$| = $\sqrt{5}$.

Ta chia thành 2 nhóm để đem đi so sánh.

Nhóm gồm các số thực âm: $\frac{-2}{3};-\sqrt{2};\frac{-3}{4}.$

Nhóm gồm các số thực dương: 4,1; 3,2; $\pi ;\frac{7}{3}$.

Ta đi so sánh nhóm số thực âm: $\frac{-2}{3};-\sqrt{2};\frac{-3}{4}.$

Ta có: $\frac{-2}{3}=-0,\mathrm{666...}$; $-\sqrt{2}=-1,\mathrm{41421...}$; $\frac{-3}{4}=-0,75$.

Ta so sánh số đối của chúng là 0,666…; 1,41421…;0,75.

Nhận thấy 1,41421… có phần nguyên là 1 > 0 nên 1,41421… lớn hơn hai số 0,666… và 0,75.

Lại có 7 > 6 nên 0,75 > 0,666…

Ta sắp sếp: 0,666… > 0,75 > 1,4121…

Do đó, -1,4121… < -0,75 < -0,666… hay $-\sqrt{2}<\frac{-3}{4}<\frac{-2}{3}$.

Ta đi so sánh nhóm các số thực dương 4,1; 3,2; $\pi ;\frac{7}{3}$.

Ta có: $\pi =3,\mathrm{1415...}$; $\frac{7}{3}=2,\mathrm{333...}$

Ta đi so sánh phần nguyên của chúng: Vì 4 > 3 >2 nên 4,1 lớn nhất và 2,333… bé nhất trong các số 4,1; 3,1415…; 3,2; 2,333…

Ta lại đi so sánh 3,1415…và 3,2.

Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần mười. Mà 1 < 2 nên 3,1415… < 3,2.

Ta có sắp xếp sau: 2,666… < 3,1415….< 3,2 < 4,1 hay $\frac{7}{3}<\pi <3,2<4,1$

Vì số thực âm luôn bé hơn 0 và bé hơn số thực dương. Do đó, ta có dãy sắp xếp các số đề bài theo thứ tự từ bé đến lớn như sau:

$-\sqrt{2}<\frac{-3}{4}<\frac{-2}{3}<\frac{7}{3}<\pi <3,2<4,1$

a) $\sqrt{2};\sqrt{3};\sqrt{5}$ là các số thực.

 a là một khẳng định đúng.

b) Số nguyên không phải là số thực.

b là một khẳng định sai.

c) $-\frac{1}{2};\frac{2}{3};-0,45$ là các số thực.

c là một khẳng định đúng.

d) Số 0 vừa là số hữu tỉ vừa là số vô tỉ.

d là một khẳng định sai vì số 0 là số hữu tỉ không phải số vô tỉ.

e) 1; 2; 3; 4 là các số thực.

e là một khẳng định đúng.

a) 2,71467 > 2,7$\boxed{?}$932;

Ta thấy chữ số phần nguyên và chữ số hàng phần mười là giống nhau. Mặt khác chữ số hàng phần nghìn của số $2,7\boxed{?}932$ là số 9 và chữ số hàng phần nghìn của 2,71467 là 4. Do đó muốn có kết quả 2,71467 > 2,7 $\boxed{?}$ 932 thì $\boxed{?}$ phải nhỏ hơn 1. Vậy $\boxed{?}$ cần điền là số 0.

b) $-5,17934>-5,17\boxed{?}46$.

Ta đi so sánh $5,17934$ và $5,17\boxed{?}46$.

Vì $-5,17934>-5,17\boxed{?}46$ nên $5,17934<5,17\boxed{?}46$

Ta thấy chữ số hàng phần nguyên hàng phần mười và hàng phần trăm là giống nhau. Mặt khác chữ số hàng phần nghìn của 5,17934 là 9 nếu $\boxed{?}$ là một số nhỏ hơn 9 thì kết quả $5,17934<5,17\boxed{?}46$. Do đó $\boxed{?}$ cần điền là 9.

Số đối của $-\sqrt{5}$ là $\sqrt{5}$.

Số đối của 12,(3) là -12,(3).

Số đối của 0,4599 là -0,4599.

Số đối của $\sqrt{10}$ là $-\sqrt{10}$.

Số đối của $-\pi$ là $\pi$.

Giá trị tuyệt đối của $-\sqrt{7}$ là $\sqrt{7}$ hay ta viết là $\left|-\sqrt{7}\right|=\sqrt{7}$.

Giá trị tuyệt đối của 52,(1) là 52,(1) hay ta viết là $\left|52,\left(1\right)\right|=52,\left(1\right)$.

Giá trị tuyệt đối của 0,68 là 0,68 hay ta viết là $\left|0,68\right|=0,68$

Giá trị tuyệt đối của $-\frac{3}{2}$ là $\frac{3}{2}$ hay ta viết là $\left|\frac{-3}{2}\right|=\frac{3}{2}$.

Giá trị tuyệt đối của $2\pi$ là $2\pi$ hay ta viết là $\left|2\pi \right|=2\pi$.

Giá trị tuyệt đối của -3,2 là 3,2.

Giá trị tuyệt đối của 2,13 là 2,13.

Giá trị tuyệt đối của $-\sqrt{2}$ là $\sqrt{2}$.

Giá trị tuyệt đối của $-\frac{3}{7}$ là $\frac{3}{7}$.

Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn giá trị tuyệt đối của các số -3,2; 2,13; $-\sqrt{2}$; $-\frac{3}{7}$ là:

$\frac{3}{7};\sqrt{2};2,13;3,2$.