Giả sử tam giác ABC có AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A.

Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Do đó BM = CM.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại M và $\Delta ACM$ vuông tại M có:

AM chung.

BM = CM (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta ABM=\Delta ACM$ (2 cạnh góc vuông).

Do đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Xét $\Delta MNC$ có NB $\perp$ MC, CB $\perp$ MN.

Mà NB cắt CB tại B nên B là trực tâm của $\Delta MNC$.

Do đó BM $\perp$ CN.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định ba điểm A, B, C nằm trên rìa mảnh tôn.

Bước 2. Xác định ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Xác định giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Điểm đó là tâm của mảnh tôn.

Gọi Ax là tia đối của tia AC.

Do At là tia phân giác của $\widehat{BAx}$ nên $\widehat{xAt}=\widehat{tAB}$.

Do At // BC nên $\widehat{xAt}=\widehat{ACB}$ (2 góc đồng vị).        

Do At // BC nên $\widehat{tAB}=\widehat{ABC}$ (2 góc so le trong).

Mà $\widehat{xAt}=\widehat{tAB}$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\Delta ABC$ cân tại A.

a) Do G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC nên GM = $\frac{1}{3}$AM.

$\Delta ABM$ và $\Delta MBG$ có chung đường cao kẻ từ B đến AM nên tỉ số diện tích giữa $\Delta MBG$ và $\Delta ABM$ bằng tỉ số của hai đáy GM và AM.

Ta có GM = $\frac{1}{3}$AM nên S_MBG = $\frac{1}{3}$S_ABM.

$\Delta ACM$ và $\Delta MCG$ có chung đường cao kẻ từ C đến AM nên tỉ số diện tích giữa $\Delta ACM$ và $\Delta MCG$ bằng tỉ số của hai đáy GM và AM.

Ta có GM = $\frac{1}{3}$AM nên S_MCG = $\frac{1}{3}$S_ACM.

Do đó S_MBG + S_MCG = $\frac{1}{3}$S_ABM + S_ACM

hay S_GBC = $\frac{1}{3}$S_ABC.

b) Ta có AG = 2GM nên S_GCA = 2S_MCG; S_GAB = 2S_MBG.

Tam giác BGM và tam giác CGM có chung đường cao kẻ từ G. Hai đáy BM và CM bằng nhau. Do đó, S_BGM = S_CGM.

Suy ra,  S_GBC = 2S_MCG = 2S_MBG.

Do đó S_GCA = S_GAB = S_GBC = $\frac{1}{3}$S_ABC.