Xét hình đầu tiên:

 

Ta có $x+x+20°+x+10°=180°.$

hay $3\text{x}+30°=180°$ hay $3\text{x}=180°-30°=150°.$

 Do đó $x=50°.$

Xét hình thứ hai:

Ta có $60°+y+2y=180°.$

hay $60°+3y=180°$ hay $3y=180°-60°=120°.$

Do đó $y=40°.$

Vậy $x=50°,y=40°.$

Xét hai tam giác MAN và MBN có:

AM = BM (theo giả thiết).

MN chung.

AN = BN (theo giả thiết).

Do đó $\Delta MAN=\Delta MBN$ (c – c – c).

Vậy $\widehat{MAN}=\widehat{MBN}$ (2 góc tương ứng).

Xét hai tam giác OAM và OBN có:

$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}$ (theo giả thiết).

AO = BO (theo giả thiết).

$\widehat{O}$ chung.

Do đó $\Delta OAM=\Delta OBN$ (g – c – g).

Vậy AM = BN (2 cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BAM và ABN có:

AB chung.

$\widehat{ABM}=\widehat{BAN}$ (theo giả thiết).

BM = AN (theo giả thiết).

Do đó $\Delta ABM=\Delta ABN$ (c – g – c).

Vậy $\widehat{BAM}=\widehat{ABN}$ (2 góc tương ứng).

Do M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB.

Do N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên NA = NB.

Mà AM = AN nên MA = MB = NA = NB.

Tứ giác AMBN có MA = MB = NA = NB nên tứ giác AMBN là hình thoi.

Vậy tứ giác AMBN là hình thoi.

a) Do $MA\perp AB,NA\perp AC$ nên tam giác BAM vuông tại A, tam giác CAN vuông tại A.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}.$

Xét hai tam giác BAM vuông tại A và CAN vuông tại A có:

$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

Vậy $\Delta BAM=\Delta CAN$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

b) Xét tam giác ABC có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°.$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó $2\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}=180°-120°=60°.$

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30°.$

Do $\Delta BAM=\Delta CAN$ (chứng minh ở ý a) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng).

Do đó tam giác AMN cân tại A (1).

Xét tam giác CAN vuông tại A có $\widehat{ANC}+\widehat{ACN}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{ANC}=90°-\widehat{ACN}=90°-30°=60°.$

Từ (1) và (2) suy ra tam giác AMN đều.

Do đó $\widehat{AMN}=60°.$

Ta có: $\widehat{MAN}+\widehat{NAB}=\widehat{MAB}$ do đó $\widehat{NAB}=\widehat{MAB}-\widehat{MAN}=90°-60°=30°.$

Do đó $\widehat{NAB}=\widehat{ABN}=30°.$

Suy ra tam giác ANB cân tại N.

Ta có: $\widehat{MAN}+\widehat{MAC}=\widehat{NAC}$ do đó $\widehat{MAC}=\widehat{NAC}-\widehat{MAN}=90°-60°=30°.$

Do đó $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=30°.$

Suy ra tam giác AMC cân tại M.

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}=90°-60°=30°.$

$\widehat{ACM}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACM}=30°.$

Tam giác CAM có $\widehat{ACM}=\widehat{CAM}=30°$ nên tam giác CAM cân tại M.

Vậy tam giác CAM cân tại M.

b) Có $\widehat{BAC}=\widehat{BAM}+\widehat{MAC}.$

 Do đó $\widehat{BAM}=\widehat{BAC}-\widehat{MAC}=90°-30°=60°.$

$\widehat{ABM}=\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABM}=60°.$

Xét tam giác BAM có $\widehat{ABM}+\widehat{BAM}+\widehat{BMA}=180°.$

Do đó $\widehat{BMA}=180°-\widehat{ABM}-\widehat{BAM}=180°-60°-60°=60°.$

Tam giác BAM có $\widehat{ABM}=\widehat{BAM}=\widehat{BMA}=60°$ nên tam giác BAM là tam giác đều.

Vậy tam giác BAM là tam giác đều.

c) Do tam giác CAM cân tại M nên MA = MC (1).

Do tam giác BAM là tam giác đều MA = MB (2).

Từ (1) và (2) ta có MB = MC.

Mà M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.

Vậy M là trung điểm của BC.