Muốn chia đa thức P cho đa thức Q (Q ≠ 0) khi số mũ của biến ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong Q, ta chia mỗi đơn thức của đa thức P cho đơn thức Q rồi cộng các thương với nhau.

a) x⁵ : x³ = x^{5 - 3} = x².

b) (4x³) : x² = 4 . x³ : x² = 4 . x^{3 - 2} = 4x.

c) (ax^m) : (bxⁿ) = $\frac{a{x}^m}{b{x}^n}=\frac{a}{b}.\frac{x^m}{x^n}$ = (a : b) . x^{m - n} (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n $\in \mathbb{N}$; m ≥ n).

a) (3x⁶) : (0,5x⁴) = (3 : 0,5) . (x⁶ : x⁴) = 6x².

b) (-12x^{m + 2}) : (4x^{n + 2}) = (-12 : 4) . (x^{m + 2} : x^{n + 2}) = -3 . x^{m + 2 - n - 2} = -3x^{m - n}.

a) Độ dài cạnh kề với MN của hình chữ nhật (I) là A : c = ac : c = a.

Độ dài cạnh kề với PQ của hình chữ nhật (II) là B : c = bc : c = b.

Khi đó NP = a + b.

b) Diện tích MNPQ bằng tổng diện tích hai hình chữ nhật (I) và (II) bằng ac + bc.

Khi đó độ dài NP là thương trong phép chia diện tích hình chữ nhật MNPQ cho MN.

Hay NP = (ac + bc) : c = (A + B) : c.

Mà NP = a + b = A : c + B : c.

Do đó (A + B) : c = A : c + B : c.

a) Ta có:

4x² : 2x = (4 : 2) . (x² : x) = 2x.

3x : 2x = (3 : 2) . (x : x) = $\frac{3}{2}$.

b) 4x² : 2x + 3x : 2x = 2x + $\frac{3}{2}$.

$\left(\frac{1}{2}{x}^4-\frac{1}{4}{x}^3+x\right):\left(-\frac{1}{8}x\right)$

$=\frac{1}{2}{x}^4:\left(-\frac{1}{8}x\right)-\frac{1}{4}{x}^3:\left(-\frac{1}{8}x\right)+x:\left(-\frac{1}{8}x\right)$

$=\left(\frac{1}{2}:\frac{-1}{8}\right).\left(x^4:x\right)-\left(\frac{1}{4}:\frac{-1}{8}\right).\left(x^3:x\right)+\left(1:\frac{-1}{8}\right).\left(x:x\right)$

$=\frac{-8}{2}.x^3-\frac{-8}{4}.x^2+\left(-8\right)$ 

= -4x3 + 2x2 - 8.

a) Lấy 2x² chia cho 2x được x, viết x.

Lấy x nhân với 2x + 1 được 2x² + x, viết 2x² + x.

Lấy 2x² + 5x + 2 trừ đi 2x² + x được 4x + 2, viết 4x + 2.

Lấy 4x chia cho 2x được 2, viết 2.

Lấy 2 nhân với 2x + 1 được 4x + 2, viết 4x + 2.

Lấy 4x + 2 trừ 4x + 2 được 0, viết 0.

Ta có phép tính như sau:

Vậy (2x² + 5x + 2) : (2x + 1) = x + 2.

b) Lấy 3x³ chia cho x² được 3x, viết 3x.

Lấy 3x nhân với x² + 1 được 3x³ + 3x, viết 3x³ + 3x.

Lấy 3x³ - 5x² + 2 trừ đi 3x³ + 3x được -5x² - 3x + 2, viết -5x² - 3x + 2.

Lấy -5x² chia cho x² được -5, viết -5.

Lấy -5 nhân với x² + 1 được -5x² - 5, viết -5x² - 5.

Lấy -5x² - 3x + 2 trừ đi -5x² - 5 được -3x + 7, viết -3x + 7.

Bậc của đa thức -3x + 7 bằng 1, nhỏ hơn bậc của đa thức x² + 1 bằng 2 nên phép chia kết thúc.

Ta có phép tính như sau:

$\begin{array}{cccccccc}& 3{\text{x}}^3& -& 5{\text{x}}^2& & & +& 2\\ \overline{}& 3{\text{x}}^3& & & +& 3\text{x}& & \\ & & -& 5{\text{x}}^2& -& 3\text{x}& +& 2\\ & \overline{}& -& 5{\text{x}}^2& & & -& 5\\ & & & & -& 3\text{x}& +& 7\end{array}\begin{array}{ccc}{x}^2& +& 1\\ 3\text{x}& -& 5\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

 

Vậy 3x³ - 5x² + 2 = (3x - 5) . (x² + 1)+ (-3x + 7).

a) Thực hiện phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccccc}& x^3& & & & & +& 1\\ \overline{}& x^3& -& x^2& +& x& & \\ & & & x^2& -& x& +& 1\\ & & \overline{}& x^2& -& x& +& 1\\ & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& -& x& +& 1\\ x& +& 1& & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy (x3 + 1) : (x2 - x + 1) = x + 1.

b) Thực hiện phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccccc}& 8x^3& -& 6{\text{x}}^2& & & +& 5\\ \overline{}& 8{\text{x}}^3& +& 8{\text{x}}^2& +& 8\text{x}& & \\ & & -& 14{\text{x}}^2& -& 8\text{x}& +& 5\\ & \overline{}& -& 14{\text{x}}^2& -& 14\text{x}& -& 14\\ & & & & & \text{6x}& +& 19\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& +& x& +& 1\\ 8\text{x}& -& 14& & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy 8x3 - 6x2 + 5 = (8x - 14) . (x2 + x + 1) + (6x + 19).

a) (4x³) : (-2x²) = [4 : (-2)] . (x³ : x²) = -2x.

b) (-7x²) : (6x) = (-7 : 6) . (x² : x) = $\frac{-7}{6}$x.

c) (-14x⁴) : (-8x³) = [(-14) : (-8)] . (x⁴ : x³) = $\frac{7}{4}$x.

a) (8x³ + 2x² - 6x) : (4x)

= (8x³ : 4x) + (2x² : 4x) - (6x : 4x)

= 2x² + $\frac{1}{2}$x - $\frac{3}{2}$.

b) (5x³ - 4x) : (-2x)

= [5x³ : (-2x)] - [4x : (-2x)]

= $\frac{-5}{2}$x² - (-2)

= $\frac{-5}{2}$x² + 2.

c) (-15x⁶ - 24x³) : (-3x²)

= (-15x⁶) : (-3x²) - 24x³ : (-3x²)

= 5x⁴ - (-8x)

= 5x⁴ + 8x.

a) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& x^2& -& 2\text{x}& +& 1\\ \overline{}& x^2& -& x& & \\ & & -& x& +& 1\\ & \overline{}& -& x& +& 1\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}x& -& 1\\ x& -& 1\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy (x2 - 2x + 1) : (x - 1) = x - 1.

b) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& x^3& +& 2{\text{x}}^2& +& x\\ \overline{}& x^3& +& x^2& & \\ & & & x^2& +& x\\ & & \overline{}& x^2& +& x\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}{x}^2& +& x\\ x& +& 1\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy (x3 + 2x2 + x) : (x2 + x) = x + 1.

c) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& -16{\text{x}}^4& & & +& 1\\ \overline{}& -16{\text{x}}^4& +& 4{\text{x}}^2& & \\ & & & -4{\text{x}}^2& +& 1\\ & & \overline{}& -4{\text{x}}^2& +& 1\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}-4{\text{x}}^2& +& 1\\ 4{\text{x}}^2& +& 1\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy (-16x4 + 1) : (-4x2 + 1) = 4x2 + 1.

d) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccccccccc}& -32{\text{x}}^5& & & & & & & & & +& 1\\ \overline{}& -32{\text{x}}^5& +& 16{\text{x}}^4& & & & & & & & \\ & & & -16{\text{x}}^4& & & & & & & +& 1\\ & & \overline{}& -16{\text{x}}^4& +& 8{\text{x}}^3& & & & & & \\ & & & & & -8{\text{x}}^3& & & & & +& 1\\ & & & & \overline{}& -8{\text{x}}^3& +& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & & & & & & -4{\text{x}}^2& & & +& 1\\ & & & & & & \overline{}& -4{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& & \\ & & & & & & & & & -2\text{x}& +& 1\\ & & & & & & & & \overline{}& -2\text{x}& +& 1\\ & & & & & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccccccc}-2\text{x}& +& 1& & & & & & \\ 16{\text{x}}^4& +& 8{\text{x}}^3& +& 4{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& +& 1\\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & & & & & & & \end{array}$

Vậy (-32x5 + 1) : (-2x + 1) = 16x4 + 8x3 + 4x2 + 2x + 1.

a) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 6{\text{x}}^2& -& 2\text{x}& +& 1\\ \overline{}& 6{\text{x}}^2& -& 2\text{x}& & \\ & & & & & 1\end{array}\begin{array}{ccc}3\text{x}& -& 1\\ 2\text{x}& & \\ & & \end{array}$

Vậy 6x2 - 2x + 1 = 2x . (3x - 1) + 1.

b) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 27{\text{x}}^3+x^2-x+1& & & & \\ \overline{}& 27{\text{x}}^3-\frac{27}{2}{x}^2& & & & \\ & \frac{29}{2}{x}^2-x+1& & & & \\ \overline{}& \frac{29}{2}{x}^2-\frac{29}{4}x& & & & \\ & \frac{25}{4}x+1& & & & \\ \overline{}& \frac{25}{4}x-\frac{25}{8}& & & & \\ & \frac{33}{8}& & & & \end{array}\begin{array}{ccc}-2\text{x}+1& & \\ \frac{-27}{2}{x}^2-\frac{29}{4}x-\frac{25}{8}& & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy 27x3 + x2 - x + 1 = $\left(\frac{-27}{2}{x}^2-\frac{29}{4}x-\frac{25}{8}\right)$ . (-2x + 1) + $\frac{33}{8}$.

c) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccccc}& 8{\text{x}}^3& +& 2{\text{x}}^2& +& x& & \\ \overline{}& 8{\text{x}}^3& & & +& 4\text{x}& +& 4\\ & & & 2x^2& -& 3\text{x}& -& 4\end{array}\begin{array}{ccccc}2{\text{x}}^3& +& x& +& 1\\ 4& & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy 8x3 + 2x2 + x = 4(2x3 + x + 1) + (-3x - 4).

d) Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cc}& 3{\text{x}}^4+8{\text{x}}^3-2{\text{x}}^2+x+1\\ \overline{}& 3{\text{x}}^4+x^3\\ & 7{\text{x}}^3-2{\text{x}}^2+x+1\\ \overline{}& 7{\text{x}}^3+\frac{7}{3}{x}^2\\ & \frac{-13}{3}{x}^2+x+1\\ \overline{}& \frac{-13}{3}{x}^2-\frac{13}{9}x\\ & \frac{22}{9}x+1\\ \overline{}& \frac{22}{9}x+\frac{22}{27}\\ & \frac{5}{27}\end{array}\begin{array}{c}3\text{x}+1\\ x^3+\frac{7}{3}{x}^2-\frac{13}{9}x+\frac{22}{27}\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$

Khi đó số sản phẩm mà công ty bán được là thương trong phép chia 6x² + 170x + 1 200 cho 2x + 30.

Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 6{\text{x}}^2& +& 170\text{x}& +& 1200\\ \overline{}& 6{\text{x}}^2& +& 90\text{x}& & \\ & & & 80\text{x}& +& 1200\\ & & \overline{}& 80\text{x}& +& 1200\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}2\text{x}& +& 30\\ 3\text{x}& +& 40\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy số sản phẩm mà công ty đó đã bán được là 3x + 40 sản phẩm.

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là:

(x + 1)(x + 2) = x . x + x . 2 + 1 . x + 1 . 2 = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2 (cm²).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là thương trong phép chia thể tích hình hộp chữ nhật cho diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đó.

Thực hiện phép tính ta được:

$\begin{array}{cccccccc}& x^3& +& 6x^2& +& 11\text{x}& +& 6\\ \overline{}& x^3& +& 3{\text{x}}^2& +& 2x& & \\ & & & 3{\text{x}}^2& +& 9\text{x}& +& 6\\ & & \overline{}& 3{\text{x}}^2& +& 9\text{x}& +& 6\\ & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& +& 3\text{x}& +& 2\\ x& +& 3& & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là x + 3 cm.