Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

a) x² . x⁴ = x^{2 + 4} = x⁶.

b) 3x² . x³ = 3x^{2 + 3} = 3x⁵.

c) ax^m . bxⁿ = a . b . x^m . xⁿ = abx^{m + n} (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n $\in \mathbb{N}$).

a) 3x⁵ . 5x⁸ = 3 . 5 . x⁵ . x⁸ = 15 . x^{5 + 8} = 15x¹³.

b) -2x^{m + 2} . 4x^{n - 2} = -2 . 4 . x^{m + 2} . x^{n - 2} = -8 . x^{m + 2 + n - 2} = -8x^{m + n} (m, n $\in \mathbb{N}$; n > 2).

a) Diện tích hình chữ nhật (I) là ab.

Diện tích hình chữ nhật (II) là ac.

b) Diện tích hình chữ nhật MNPQ là a(b + c).

c) Ta thấy diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng tổng diện tích hai hình chữ nhật (I) và (II) nên a(b + c) = ab  +ac.

a) Các đơn thức của đa thức Q(x) là 3x²; 4x; 1.

Ta có:

2x . 3x² = 2 . 3 . x . x² = 6 . x^{1 + 2} = 6x³.

2x . 4x = 2 . 4 . x . x = 8 . x^{1 + 1} = 8x².

2x . 1 = 2x.

b) Khi đó 2x . 3x² + 2x . 4x + 2x . 1 = 6x³ + 8x² + 2x.

a) Diện tích hình chữ nhật (I) là ac.

Diện tích hình chữ nhật (II) là ad.

Diện tích hình chữ nhật (III) là bc.

Diện tích hình chữ nhật (IV) là bd.

b) Diện tích hình chữ nhật MNPQ là (a + b)(c + d).

c) Diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng tổng diện của bốn hình chữ nhật (I), (II), (III), (IV) nên (a + b)(c +  d) = ac + ad + bc + bd.

a) Ta có:

2x . x = 2x²;

2x . 1 = 2x;

3 . x = 3x;

3 . 1 = 3.

b) 2x . x + 2x . 1 + 3 . x + 3 . 1 = 2x² + 2x + 3x + 3 = 2x² + 5x + 3.

a) (x² - 6)(x² + 6) = x² . x² + x² . 6 - 6 . x² - 6 . 6

= x⁴ - 36.

b) (x - 1)(x² + x + 1) = x . x² + x . x + x . 1 - 1 . x² - 1 . x - 1 . 1

= x³ + x² + x - x² - x - 1

= x³ + (x² - x²) + (x - x) - 1

= x³ - 1

a) $\frac{1}{2}$x² . $\frac{6}{5}$x³ = $\frac{1}{2}$ . $\frac{6}{5}$ . x² . x³ = $\frac{3}{5}$x⁵.

b) y^{2$\left(\frac{5}{7}{y}^3-2y^2+\mathrm{0,25}\right)$} = y² . $\frac{5}{7}$y³ - y² . 2y² + y² . 0,25

= $\frac{5}{7}$y⁵ - 2y⁴ + 0,25y².

c) (2x² + x + 4)(x² - x - 1)

= 2x² . x² - 2x² . x - 2x² . 1 + x . x² - x . x - x . 1 + 4 . x² - 4 . x - 4 . 1

= 2x⁴ - 2x³ - 2x² + x³ - x² - x + 4x² - 4x - 4

= 2x⁴ + (-2x³ + x³) + (-2x² - x²+ 4x²) + (-x - 4x) - 4

= 2x⁴ - x³ + x² - 5x - 4.

d) (3x - 4)(2x + 1) - (x - 2)(6x + 3)

= 3x . 2x + 3x . 1 - 4 . 2x - 4 . 1 - (x . 6x + x . 3 - 2 . 6x - 2 . 3)

= 6x² + 3x - 8x - 4 - (6x² + 3x - 12x - 6)

= 6x² - 5x - 4 - (6x² - 9x - 6)

= 6x² - 5x - 4 - 6x² + 9x + 6

= (6x² - 6x²) + (-5x + 9x) + (-4 + 6)

= 4x + 2.

a) P(x) = (-2x² - 3x + x - 1)(3x² - x - 2)

= (-2x² - 2x - 1)(3x² - x - 2)

= -2x² . 3x² - (-2x²) . x - (-2x²) . 2 - 2x . 3x² - 2x . (-x) - 2x . (-2) - 1 . 3x² - 1 . (-x) - 1 . (-2)

= -6x⁴ + 2x³ + 4x² - 6x³ + 2x² + 4x - 3x² + x + 2

= -6x⁴ + (2x³ - 6x³) + (4x² + 2x² - 3x²) + (4x + x) + 2

= -6x⁴ - 4x³ + 3x² + 5x + 2

Khi đó đa thức P(x) có bậc bằng 4, hệ số cao nhất bằng -6, hệ số tự do bằng 2.

b) Q(x) = (x⁵ - 5)(-2x⁶ - x³ + 3)

= x⁵ . (-2x⁶) - x⁵ . x³ + x⁵ . 3 - 5 . (-2x⁶) - 5 . (-x³) - 5 . 3

= -2x¹¹ - x⁸ + 3x⁵ + 10x⁶ + 5x³ - 15

= -2x¹¹ - x⁸ + 10x⁶ + 3x⁵ + 5x³ - 15

Khi đó đa thức Q(x) có bậc bằng 11, hệ số cao nhất bằng -2, hệ số tự do bằng -15.

a) P(x) = x²(x² + x + 1) - 3x(x - a) + $\frac{1}{4}$

= x² . x² + x² . x + x² . 1 - 3x . x - 3x . (-a) + $\frac{1}{4}$

= x⁴ + x³ + x² - 3x² + 3ax + $\frac{1}{4}$

= x⁴ + x³ - 2x² + 3ax + $\frac{1}{4}$

b) Do tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng $\frac{5}{2}$ nên 1 + 1 + (-2) + 3a + $\frac{1}{4}$ = $\frac{5}{2}$.

Suy ra 3a $=\frac{5}{2}-\frac{1}{4}=\frac{10}{4}-\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$.

Do đó a = $\frac{9}{4}:3=\frac{9}{4}.\frac{1}{3}=\frac{3}{4}$.

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x (cm).

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông là 30 - 2a (cm).

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông là 20 - 2a (cm).

Ta thấy độ dài đáy của hình hộp chữ nhật là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật sau khi cắt đi 2 hình vuông, chiều cao của hình hộp chữ nhật là độ dài cạnh của hình vuông.

Do đó thể tích của hình hộp chữ nhật đó là: a(30 - 2a)(20 - 2a) (cm³).

Gọi tuổi của người đó là x (x > 0).

Tuổi của người đó cộng thêm 5 được x + 5.

Nhân kết quả vừa tìm được với 2 được 2(x + 5) = 2x + 2 . 5 = 2x + 10.

Lấy kết quả đó cộng với 10 được 2x + 10 + 10 = 2x + 20.

Nhân kết quả vừa tìm được với 5 được 5(2x + 20) = 5. 2x + 5 . 20 = 10x + 100.

Kết quả sau khi trừ đi 100 là 10x + 100 - 100 = 10x.

Khi đó kết quả cuối cùng bằng 10 lần tuổi của người đó.