Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù).

Để giếng chung khoan trong vườn cách đều ba ngôi nhà thì vị trí của giếng phải là giao của ba đường trung trực của tam giác được tạo thành từ vị trí ba ngôi nhà với ba ngôi nhà là ba đỉnh của tam giác.

Vì đường trung trực của tam giác là đường trung trực của mỗi cạnh cả tam giác. Mà tam giác có ba cạnh nên có ba đường trung trực.

a) Do O nằm trên đường trung trực của cạnh BC nên OB = OC (tính chất đường trung trực).

Do O nằm trên đường trung trực của cạnh CA nên OC = OA (tính chất đường trung trực).

b) Do OB = OC và OC = OA nên OA = OB.

Do đó O nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

Coi ba ngôi nhà của ba anh em là ba đỉnh của tam giác.

Khi đó đường thẳng nối 2 trong 3 nhà với nhau là cạnh của tam giác.

Giếng cách đều 3 ngôi nhà tức giếng cách đều 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó giếng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.

Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên QA = QB = QC.

Do QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của AB.

Do QB = QC nên Q nằm trên đường trung trực của BC.

Do QC = QA nên Q nằm trên đường trung trực của CA.

Do đó Q là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Đường cao của tam giác là đạon thẳng kẻ từ đỉnh xuống cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện.

Mà mỗi tam giác có 3 đỉnh và mỗi đỉnh có 1 cạnh đối diện tương ứng nên mỗi tam giác có ba đường cao.

a)

Giả sử tam giác ABC đều có O là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác

Hay AO, BO, CO lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, AC, AB.

Do DABC đều nên DABC cân tại A.

Do đó theo câu a), ba đường trung trực AO, BO, CO của các cạnh BC, AC, AB lần lượt là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C của tam giác.

Mà ba đường phân giác AO, BO, CO cắt nhau tại O nên O cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Ta có $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{F\text{A}H}$ (2 góc đối đỉnh), $\widehat{DAC}=\widehat{HAE}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó $\widehat{BA\text{D}}+\widehat{DAC}=\widehat{F\text{AH}}+\widehat{E\text{AH}}$ = 100^o.

Xét $\Delta F\text{A}H$ vuông tại F: $\widehat{FHA}+\widehat{F\text{A}H}$ = 90^o (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{FHA}=90°-\widehat{F\text{A}H}$.

Xét $\Delta E\text{A}H$ vuông tại E: $\widehat{EHA}+\widehat{\text{EA}H}$ = 90^o (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{EHA}=90°-\widehat{\text{EA}H}$.

Khi đó $\widehat{FHA}+\widehat{EHA}=90°-\widehat{F\text{A}H}+90°-\widehat{E\text{A}H}$

hay $\widehat{BHC}=180°-\left(\widehat{F\text{A}H}+\widehat{E\text{AH}}\right)$.

Do đó $\widehat{BHC}$ = 180^o - 100^o = 80^o.

Vậy $\widehat{BHC}$ = 80^o.

b) Coi 3 điểm A, B, C là 3 đỉnh của tam giác ABC.

Do M cách đều A và B nên MA = MB.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB.

Do M cách đều B và C nên MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của BC.

Vậy M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Nối hai điểm B, C ta được tam giác ABC.