Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của A chia cho hạng tử có bậc cao nhất của B:

2x⁴ : x² = 2x².

Bước 2. Lấy A trừ đi tích B. 2x² ta được dư thứ nhất là -3x³ + x² + 6x - 2.$\begin{array}{cccccccccc}& 2{\text{x}}^4& -& 3{\text{x}}^3& -& 3{\text{x}}^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ \overline{}& 2{\text{x}}^4& & & -& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & -& 3{\text{x}}^3& +& x^2& +& 6\text{x}& -& 2\end{array}\begin{array}{ccc}{x}^2& -& 2\\ 2{\text{x}}^2& & \\ & & \end{array}$

Bước 3. Lấy hạng tử cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

(-3x³) : x² = -3x.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B. (-3x) ta được dư thứ hai là x² - 2.$\begin{array}{cccccccccc}& 2{\text{x}}^4& -& 3{\text{x}}^3& -& 3{\text{x}}^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ \overline{}& 2{\text{x}}^4& & & -& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & -& 3{\text{x}}^3& +& x^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ & & -& 3{\text{x}}^3& & & +& 6\text{x}& & \\ & & & & & x^2& & & -& 2\end{array}\begin{array}{ccc}{x}^2& -& 2\\ 2{\text{x}}^2& -& 3\text{x}\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Bước 5. Lấy hạng tử cao nhất của dư thứ hai chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:

x² : x² = 1.

Bước 6. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B. 1 ta được dư thứ ba là 0.$\begin{array}{l}\begin{array}{cccccccccc}& 2{\text{x}}^4& -& 3{\text{x}}^3& -& 3{\text{x}}^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ \overline{}& 2{\text{x}}^4& & & -& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & -& 3{\text{x}}^3& +& x^2& +& 6\text{x}& -& 2\\ & \overline{}& -& 3{\text{x}}^3& & & +& 6\text{x}& & \\ & & & & & x^2& & & -& 2\\ & & & & \overline{}& x^2& & & -& 2\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& -& 2& & \\ 2{\text{x}}^2& -& 3\text{x}& +& 1\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}\\ \begin{array}{cccccccccc}& & & & & & & & & 0\end{array}\end{array}$

Bước 7. Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.

Vậy A : B = 2x² - 3x + 1.

Lời giải:

a) 12x³ : 4x = (12 : 4). (x³ : x) = 3x².

b) (-2x⁴) : x⁴ = (-2). (x⁴ : x⁴) = -2.

c) 2x⁵ : 5x² = (2 : 5). (x⁵ : x²) = 2/5x³.

Lời giải:

a) Gọi 2 lũy thừa của x lần lượt là x^m và xⁿ (m, n$\in \mathbb{N}$).

Khi đó thương hai lũy thừa của x là: x^m : xⁿ = x^{m - n}.

Để x^{m - n} là lũy thừa của x với số mũ nguyên dương thì m - n > 0 hay m > n.

Do đó m$\in \mathbb{N}*$, n$\in \mathbb{N}$ sao cho m - n > 0.

b) Gọi hai lũy thừa của x cùng bậc là x^m (m$\in \mathbb{N}$).

Khi đó thương hai lũy thừa của x cùng bậc là: x^m : x^m = 1.

Vậy thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng 1.

Lời giải:

a) 3x⁷ : $\frac{1}{2}$x⁴ = (3 :$\frac{1}{2}$). (x⁷ : x⁴) = 3.2.x³ = 6x³.

b) (-2x) : x = -2. (x : x) = -2.

c) 0,25x⁵ : (-5x²) = [0,25 : (-5)]. (x⁵ : x²) = -0,05x³.

Lời giải:

Ta có B . (2x² - 5x + 1) = (x² - 4x - 3) . (2x² - 5x + 1)

= x².(2x² - 5x + 1) + (-4x).(2x² - 5x + 1) + (-3).(2x² - 5x + 1)

= x² . 2x² + x² . (-5x) + x² . 1 + (-4x) . 2x² + (-4x) . (-5x) + (-4x) . 1 + (-3) . 2x²

+ (-3) . (-5x) + (-3) . 1

= 2x⁴ - 5x³ + x² - 8x³ + 20x² - 4x - 6x² + 15x - 3

= 2x⁴ + (-5x³ - 8x³) + (x² + 20x² - 6x²) + (-4x + 15x) - 3

= 2x⁴ - 13x³ + 15x² + 11x - 3

= A.

Vậy ta có phép chia hết A : B = 2x² - 5x + 1.

Lời giải:

a) (-x⁶ + 5x⁴ - 2x³) : 0,5x²

= -x⁶ : 0,5x² + 5x⁴ : 0,5x² + (-2x³) : 0,5x²

= (-1 : 0,5) . (x⁶ : x²) + (5 : 0,5) . (x⁴ : x²) + (-2 : 0,5) . (x³ : x²)

= (-1 : $\frac{1}{2}$)x⁴ + (5 :$\frac{1}{2}$)x² + (-2 :$\frac{1}{2}$)x

= (-1 . 2)x⁴ + (5 . 2)x² + (-2 . 2)x

= -2x⁴ + 10x² - 4x

b) Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của đa thức 9x² - 4 chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức 3x + 2:

9x² : 3x = 3x.

Bước 2. Lấy đa thức 9x² - 4 trừ đi (3x + 2).3x ta được dư thứ nhất là -6x - 4.

Bước 3. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức 3x + 2:

-6x : 3x = -2.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi -2(3x + 2) ta được dư thứ hai là 0 nên quá trình chia kết thúc.$\begin{array}{l}\begin{array}{cccccc}& 9{\text{x}}^2& +& 0\text{x}& -& 4\\ \overline{}& 9{\text{x}}^2& +& 6\text{x}& & \\ & & -& 6\text{x}& -& 4\\ & \overline{}& -& 6\text{x}& -& 4\end{array}\begin{array}{ccc}3x& +& 2\\ 3\text{x}& -& 2\\ & & \\ & & \end{array}\\ \begin{array}{cccccc}& & & & & 0\end{array}\end{array}$

Vậy (9x² - 4) : (3x + 2) = 3x - 2.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của đa thức D chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức E.

5x³ : x² = 5x.

Bước 2. Lấy D trừ đi tích E. 5x ta được dư thứ nhất là -3x² - 6x + 7.

Bước 3. Lấy hạng tử có bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử có bậc cao nhất của đa thức E.

-3x² : x² = -3.

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích E.(-3) ta được dư thứ hai là -6x + 10.

Bước 5. Đa thức -6x + 10 có bậc 1, đa thức E có bậc 2 nên phép chia dừng.

Lời giải:

Để thực hiện phép chia thì bậc của đa thức bị chia phải lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia.

Ta thấy bậc của đa thức dư G bằng 1, bậc của đa thức chia E bằng 2.

Do 1 < 2 nên phép chia không thể tiếp tục.

Lời giải:

Ta có E. (5x - 3) + G = (x² + 1). (5x - 3) + (-6x + 10)

= x²(5x - 3) + 1.(5x - 3) - 6x + 10

= x² . 5x + x² . (-3) + 1 . 5x + 1 . (-3) - 6x + 10

= 5x³ - 3x² + 5x - 3 - 6x + 10

= 5x³ - 3x² + (5x - 6x) + (-3 + 10)

= 5x³ - 3x² - x + 7

= D.

Vậy D = E. (5x - 3) + G.

Lời giải:

Thực hiện phép chia ta được:

Do đó dư R bằng -105x + 25; thương Q bằng 3x² - 9x + 30.

Vậy 3x⁴ - 6x - 5 = (x² + 3x - 1) . (3x² - 9x + 30) - 105x + 25.

Lời giải:

Tách đa thức x³ - 3x² + x - 1 = (x³ - 3x²) + (x - 1).

Ta thấy đa thức x³ - 3x² chia cho đa thức x² - 3x được kết quả là x, dư 0.

Nên dư của phép chia đa thức x³ - 3x² + x - 1 cho đa thức x² - 3x là dư của phép chia đa thức x - 1 cho đa thức x² - 3x.

Bậc của đa thức x - 1 là 1, bậc của đa thức x² - 3x là 2 nên không thể thực hiện phép chia.

Do đó dư của phép chia x³ - 3x² + x - 1 cho x² - 3x bằng x - 1.

Lời giải:

a) (-5x³ + 15x² + 18x) : (-5x)

= (-5x³) : (-5x) + 15x² : (-5x) + 18x : (-5x)

= [(-5) : (-5)] . (x³ : x) + [15 : (-5)] . (x² : x) + [18 : (-5)] . (x : x)

= x² + (-3)x + $\frac{18}{-5}$

= x² - 3x -$\frac{18}{5}$

b) (-2x⁵ - 4x³ + 3x²) : 2x²

= (-2x⁵) : 2x² + (-4x³) : 2x² + 3x² : 2x²

= (-2 : 2) . (x⁵ : x²) + (-4 : 2) . (x³ : x²) + (3 : 2) . (x² : x²)

= -x³ + (-2)x + 3/2

= -x³ - 2x + 3/2

Lời giải:

a) Thực hiện đặt phép chia ta được:$\begin{array}{cccccccc}& 6{\text{x}}^3& -& 2{\text{x}}^2& -& 9\text{x}& +& 3\\ \overline{}& 6{\text{x}}^3& -& 2{\text{x}}^2& & & & \\ & & & & -& 9\text{x}& +& 3\\ & & & \overline{}& -& 9\text{x}& +& 3\\ & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}3\text{x}& -& 1\\ 2{\text{x}}^2& -& 3\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Lời giải:

a) Với n = 2 ta có (0,5x⁵ + 3,2x³ - 2x²) : 0,25x²

= 0,5x⁵ : 0,25x² + 3,2x³ : 0,25x² + (-2x²) : 0,25x²

= (0,5 : 0,25) . (x⁵ : x²) + (3,2 : 0,25) . (x³ : x²) + (-2 : 0,25) . (x² : x²)

= (0,5 : 1/4)x³ + (3,2 : 1/4)x + (-2 : 1/4)

= 0,5 . 4 . x³ + 3,2 . 4 . x + (-2) . 4

= 2x³ + 12,8x - 8

b) Với n = 3 thì đa thức chia 0,25x³ có bậc bằng 3.

Trong đa thức bị chia 0,5x⁵ + 3,2x³ - 2x² có hạng tử -2x² có bậc bằng 2 < 3 nên ta thực hiện đặt tính chia:$\begin{array}{cccccc}& 0,5{\text{x}}^5& +& 3,2{\text{x}}^3& -& 2{\text{x}}^2\\ \overline{}& 0,5{\text{x}}^5& & & & \\ & & & 3,2{\text{x}}^3& -& 2{\text{x}}^2\\ & & \overline{}& 3,2{\text{x}}^3& & \\ & & & & -& 2{\text{x}}^2\end{array}\begin{array}{ccc}0,25{\text{x}}^3& & \\ 2{\text{x}}^2& +& 12,8\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Lời giải:

a) Thực hiện đặt phép chia ta được:$\begin{array}{cccccccccc}& 6{\text{x}}^4& -& 3{\text{x}}^3& +& 15{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& -& 1\\ \overline{}& 6{\text{x}}^4& & & & & & & & \\ & & -& 3{\text{x}}^3& +& 15{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& -& 1\\ & \overline{}& -& 3{\text{x}}^3& & & & & & \\ & & & & & 15{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& -& 1\\ & & & & \overline{}& 15{\text{x}}^2& & & & \\ & & & & & & & 2\text{x}& -& 1\end{array}\begin{array}{ccccc}3{\text{x}}^2& & & & \\ 2{\text{x}}^2& -& x& +& 5\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Do đó Q(x) = 2x² - x + 5; R(x) = 2x - 1.

Vậy 6x⁴ - 3x³ + 15x² + 2x - 1 = 3x² . (2x² - x + 5) + 2x - 1.

b) Thực hiện phép chia ta được:$\begin{array}{cccccccccc}& 12{\text{x}}^4& +& 10{\text{x}}^3& +& 0{\text{x}}^2& -& x& -& 3\\ \overline{}& 12{\text{x}}^4& +& 4{\text{x}}^3& +& 4{\text{x}}^2& & & & \\ & & & 6{\text{x}}^3& -& 4{\text{x}}^2& -& x& -& 3\\ & & \overline{}& 6{\text{x}}^3& +& 2{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& & \\ & & & & -& 6{\text{x}}^2& -& 3\text{x}& -& 3\\ & & & \overline{}& -& 6{\text{x}}^2& -& 2\text{x}& -& 2\\ & & & & & & -& x& -& 1\end{array}\begin{array}{ccccc}3{\text{x}}^2& +& x& +& 1\\ 4{\text{x}}^2& +& 2\text{x}& -& 2\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Do đó Q(x) = 4x² + 2x - 2; R(x) = -x - 1.

Vậy 12x⁴ + 10x³ - x - 3 = (3x² + x + 1) . (4x² + 2x - 2) - x - 1.

Lời giải:

Ta thấy bậc của đa thức bị chia 21x - 4 là 1, bậc của đa thức chia 3x² là 2.

Do 1 < 2 nên không thể thực hiện được phép chia.

Do đó thương của phép chia bằng 0 và dư của phép chia là 21x - 4.