Điểm G là trọng tâm của tam giác được tạo bởi ba đỉnh của miếng bìa.

Ta thấy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.

K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm của cạnh AC nên KH là đường trung tuyến của tam giác AKC.

H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm của cạnh BC nên HK là đường trung tuyến của tam giác BHC.

Ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.

Tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác PQR.

I là trung điểm của cạnh QR nên PI là đường trung tuyến của tam giác PQR.

Các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm của tam giác nên P, G, I thẳng hàng.

Đếm số ô vuông trong Hình 104, ta thấy:

$\frac{AG}{AM}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$;  $\frac{BG}{BN}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$;  $\frac{CG}{CP}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GA = $\frac{2}{3}$AM; GB = $\frac{2}{3}$BN; GC = $\frac{2}{3}$CP.

Do đó GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$AM + $\frac{2}{3}$BN + $\frac{2}{3}$CP = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Do BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.

Do đó BN = MC.

Xét $\Delta NBC$ và $\Delta MCB$ có:

BN = MC (chứng minh trên).

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\Delta NBC=\Delta MCB$ (c - g - c).

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GB = $\frac{2}{3}$BM; GC = $\frac{2}{3}$CN.

Mà BM = CN nên GB = GC.

Tam giác GBC có GB = GC nên tam giác GBC cân tại G.

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = $\frac{1}{2}$GA.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = $\frac{1}{2}$GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét $\Delta MBG$ và $\Delta MC\text{D}$ có:

MB = MC (theo giả thiết).

$\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$ (2 góc đối đỉnh).

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó $\Delta MBG=\Delta MC\text{D}$ (c - g - c).

c) Do $\Delta MBG=\Delta MC\text{D}$ (c - g - c) nên CD = BG (2 cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.