Cho hình lập phương a = 1 có cạnh bằng a = 1. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D ' và tâm I cuả mặt bên BCC'B'. Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng (BCC'B') và (ABCD) sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d ( tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là:

Cho phương trình $3^x=\sqrt{a.3^x \cos \left(\pi x\right)-9}$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a thuộc đoạn [ -2018; 2018] để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực?

Trò chơi quay bánh xe số trong chương trình truyền hình “Hãy chọn giá đúng” của kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: 5, 10, 15,…, 100 với vạch chia đều nhau và giả sử rằng khả năng chuyển từ nấc điểm đã có tới các nấc điểm còn lại là như nhau. Trong mỗi lượt chơi có 2 người tham gia, mỗi người được quyền chọn quay 1 hoặc 2 lần, và điểm số của người chơi được tính như sau:

· Nếu người chơi chọn quay 1 lần thì điểm của người chơi là điểm quay được.

· Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được không lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được.

· Nếu người chơi chọn quay 2 lần và tổng điểm quay được lớn hơn 100 thì điểm của người chơi là tổng điểm quay được trừ đi 100.

Luật chơi quy định, trong mỗi lượt chơi người nào có đểm số cao hơn sẽ thắng cuộc, hào nhay sẽ chơi lại lượt khác

An và Bình cùng tham gia một lượt chơi, An chơi trước và có điểm số là 75. Tính xác xuất để Bình thắng cuộc ngay ở lượt chơi này

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $\mathrm{ℝ} \backslash \left\{0\right\}$ thỏa mãn: $x^2{f}^2\left(x\right)+\left(2x-1\right)f\left(x\right)=x.f\text{'} \left(x\right)-1$ với đồng thời $f\left(1\right)=2$. Tính ${\int }_1^{4}f\left(x\right)dx$

Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương (n, k) biết n < 20 và các số $C_n^{k-1}, C_n^k, C_n^{k+1}$, theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng

Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2 dm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1;0;6). Biết rằng có hai điểm M, N phân biệt thuộc trục Ox sao cho các đường thẳng AM, AN cùng tạo với đường thẳng chứa trục Ox một góc $45°$. Tổng các hoành độ hai điểm M, N tìm được là

Gọi S là tập các giá trị của tham số thực m để hàm số $y=x^2+ \ln \left(x+m+2\right)$đồng biến trên tập xác định của nó. Biết $S=(-\infty ; a+\sqrt{b}]$. Tính tổng K = a+b

Với mỗi x > 2, trong các biểu thức: $\frac{2}{x}$, $\frac{2}{x+1}$, $\frac{2}{x-1}$, $\frac{x+1}{2}$, $\frac{x}{2}$ giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?

Cho hàm số y=f(x)có bảng biến thiên như sau:

Tìm số nghiệm của phương trình $2\left|f\left(x\right)\right|-1=0$

Biết phương trình ${\log }_3\left(3^x-1\right).\left[1+{\log }_3\left(3^x-1\right)\right]=6$ có hai nghiệm là $x_1<x_2$ và tỉ số $\frac{x_1}{x_2}=\log \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$trong đó $\mathrm{a},\mathrm{b} \in \mathrm{\mathbb{N}}*$và a,b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a + b

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $3 \cos x -1=0$trên đoạn $\left[0; 4\pi \right]$ là :

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $z+{\left|z\right|}^2.i-1-\frac{3}{4}i=0$

Biết $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x+x \cos x -{\sin }^2 x}{1+ \cos x}dx=\frac{{\pi }^2}{a}-\frac{b}{c}$. Trong đó a, b, c là các số nguyên dương, phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính $\mathrm{T}=a^2+b^2+c^2$

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây chứa trục Ox?

Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+9x-m$ đạt cực trị tại $x_1, x_2$thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|\le 2$. Biết $S=$( a; b]. Tính T= b - a

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1;2;3). Gọi $A_1$, $A_2$,$A_3$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của mặt phẳng $\left(A_1{A}_2{A}_3\right)$ là

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Đáy ABC thỏa mãn $AB=a\sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ).

Tìm số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).

Cho a là số thực dương. Viết biểu thức$P=\sqrt[3]{a^5}.\frac{1}{\sqrt{a^3}}$dưới dạng lũy thừa cơ số a ta được kết quả

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Đáy ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I có bán kính bằng 2a (tham khảo hình vẽ). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(3;-2;1\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right): x+y+2z-5=0$. Đường thẳng nào sau đây đi qua A và song song với mặt phẳng (P)?

Gọi (C) là độ thị của hàm số $y=\frac{2x-4}{x-3}$.Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đệ sai:

Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin 2x, biết $F\left(\frac{\pi }{6}\right)=0$

Tìm đạo hàm của hàm số $y=\frac{2x^2+2x+3}{x^2+x+3}$

Số nghiệm thực của phương trình 

$2^{\sqrt{x}}=2^{2-x}$ là:

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$trong khai triển của ${\left(2x+\frac{1}{x^2}\right)}^9$với $x\ne 0$

Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chu vi đáy bằng 2πa. Tính diện tích xung quanh S của hình nón

Cho a là số thực dương thỏa mãn $a\ne 10$, mệnh đề nào dưới đây sai?

Tìm $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+2}$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào?

Cho đường cong (C) có phương trình $y=\frac{x-1}{x+1}$. Gọi M là giao điểm của (C) với trục tung. Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

Tính tổng vô hạn sau: $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}+...$

Cho $z_1$, $z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $2z^2+1=0$(trong đó số phức $z_1$có phần ảo âm). Tính $z_1+3z_2$

Điểm M trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức

Cho hàm số $f\left(x\right)=4x^3+2x+1$.Tìm $\int f\left(x\right)dx$

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$trên đoạn [ 2;4 ] lần lượt là M, m. Tính S = M + m

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?