Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho $HA=2HB$. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{\frac{3+\left(x-2\right)e^x}{x{e}^x+1}}$, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích $V=\pi \left[a+b\ln \left(1+\frac{1}{e}\right)\right]$, trong đó a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}\left({\log }_6\frac{x^2+x}{x+4}\right)>0$.

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+2m-1}{x-m}$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[2;+\infty \right)$ là $S=\left(-\infty ;\frac{a}{b}\right]$, trong đó a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng bình phương của a và b.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=2m+3$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{{\log }_5^{2}x-7}{{\log }_{5}x-2}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1{x}_2=625$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với $AB=AD=\mathrm{1,}CD=2$ . Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy, còn cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 45°. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.

Biết F(x)  là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{6x^2+13x+11}{2x^2+5x+2}$ thỏa mãn $F\left(2\right)=7$. Giả sử rằng $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}+a\ln 2-b\ln 5$, trong đó a, b là các số nguyên. Tính trung bình cộng của a và b.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(1;2;3\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{1}$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A, vuông góc với $d_1$ và cắt $d_2$. Đường thẳng $\Delta$ không nằm trong mặt phẳng nào dưới đây?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a\sqrt{14}}{7}$ và góc giữa đường thẳng SB với mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a.

Biết rằng đồ thị hàm số $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ nhận điểm $I\left(1;-3\right)$ làm điểm cực tiểu và cắt đường thẳng $y=-6x+12$ tại điểm có tung độ bằng 24. Tính $T=a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^6-6x+5}{x^2-2x+1}\text{ khi }x<1\\ x^2+ax+b\text{ khi }x\ge 1\end{array}\right.$ , trong đó a, b là các số thực thỏa mãn $a^2+ab+b^2=148$. Khi hàm số liên tục trên R, hãy tính giá trị của biểu thức $T=a^3+b^3$.

Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông có 15 học sinh, gồm 4 học sinh khối 10, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 12. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong đội xung kích để làm nhiệm vụ trực tuần. Tính xác suất để chọn được 4 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh.

Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn $\left[0;2\pi \right]$ của phương trình $\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=-\sqrt{2}$. Biết rằng tổng các phần tử thuộc S bằng $\frac{m\pi }{n}$, trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $T=22m+6n+2018$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x-m}{x+1}$, với $m\ne -2$. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Tìm tập xác định D của hàm số $y={\left(2x^2-8\right)}^{\frac{2}{5}}$

Cho a, b là các số thực dương và a khác 1, đặt $P={\log }_{a^2}{b}^6+2{\log }_{\sqrt{a}}{b}^4$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Bằng cách đặt $t=3^x$, bất phương trình $9^x-{5.3}^{x+1}+54\le 0$ trở thành bất phương trình nào dưới đây?

Tính tích phân $I=\underset{\sqrt{5}}{\overset{2\sqrt{3}}{\int }}x\sqrt{x^2+4}dx$ bằng cách đặt $t=\sqrt{x^2+4}$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết rằng $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$. Tính $I=\int f\left(5x-3\right)dx$.

Giải phương trình $z^2+4z+9=0$

Cho số phức $z=3-2i$. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức $i\overline{z}$?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có $SA=a\sqrt{3},AB=a,AC=a\sqrt{2}$. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm  $A\left(2;-1;1\right),B\left(1;2;0\right)$và $C\left(3;2;-1\right)$. Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{2}$ . Đường thẳng d không đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào sai?

Giải phương trình $\sin 2x=1$

Tìm số hạng chính giữa trong khai triển của ${\left(5x+2y\right)}^4$

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $d=5$. Viết công thức tính sô hạng tổng quát $\left(u_n\right)$ của cấp số cộng đó.

Tính $l=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2-8}{3x^2-6x}$

Tính đạo hàm của hàm số $y=\left(2x-1\right)\sqrt{4x+3}$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi $G_1,G_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phép đối xứng qua trục Ox biến điểm $I\left(-3;7\right)$ thành điểm nào dưới đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=16$ . Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R mặt cầu (S).

Cho hai số phức $z_1=4-2i$ và $z_2=1+5i$. Tìm số phức $z=z_1+z_2$.                 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức $z=7-2i$ có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b (a<b) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay đó.

Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_5\left(x+2\right)=2018$ .

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó $d<0$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?