b) Viết công thức tính AC theo BC và sinB.

Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 13).

a) Biểu diễn sinB, cosC theo AC, BC.

Hình 12 mô tả đường lên dốc ở Hình 11, trong đó góc giữa BC và phương nằm giữa BA là $\widehat{ABC}=15°.$

Cạnh góc vuông AC và cạnh huyền BC (Hình 12) có liên hệ với nhau như thế nào?

b) Chứng minh: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1.$

Từ đó, tính giá trị biểu thức: S = sin²35° + cos²35°; T = tan61°.cot61°.

Cho góc nhọn α. Biết rằng, tam giác ABC vuông tại A sao cho $\widehat{B}=\alpha .$ 

a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn α theo AB, BC, CA.

Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, tính giác trị biểu thức: A = sin25° + cos25° – sin65° – cos65°.

Sử dụng máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của mỗi góc sau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) 41°;

b) 28°35’;

c) 70°27’46’’.

Mỗi tỉ số lượng giác sau đây bằng tỉ số lượng giác nào của góc 63°? Vì sao?

a) sin27°;

b) cos27°;

c) tan27°;

d) cot27°.

Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, MP = 12 cm, NP = 13 cm. Chứng minh tam giác MNP vuông tại M. Từ đó, tính các tỉ số lượng giác của góc N.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4 cm, BC = 6 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Sử dụng máy tính cầm tay để tính (gần đúng) các giá trị lượng giác sau: sin71°; cos48°; tan59°; cot23°.

Sử dụng tính chất cotα = tan(90° – α), ta có thể tính được côtang của một góc nhọn. Chẳng hạn ta tính cot56° như sau:

Sử dụng bảng tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt, tính giá trị của biểu thức:

sin60° – cos60°.tan60°.

a) sin61° – cos29°;

b) cos15° – sin75°;

c) tan28° – cot62°;

d) cot47° – tan43°.

c) Mỗi tỉ số lượng giác của góc B bằng tỉ số lượng giác nào góc C?

b) Viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 7).

a) Tổng số đo của góc B và góc C bằng bao nhiêu?

Cho tam giác MNP vuông tại M, MN = 3 cm, MP = 4 cm. Tính độ dài cạnh NP và các tỉ số lựợng giác của góc P.

c) Cạnh nào là cạnh huyền?

b) Cạnh góc vuông nào là cạnh kề của góc B?

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=\alpha$ (Hình 2).

a) Cạnh góc vuông nào là cạnh đối của góc B?

Cho góc nhọn $\widehat{xBy}=\alpha .$ Xét tam giác ABC vuông tại A, tam giác A’BC’ vuông tại A’ với A, A’ thuộc tia Bx và C, C’ thuộc tia By (Hình 1). Do ∆ABC ᔕ ∆A’BC’ nên $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{B{C}^{\text{'}}}.$

Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối AC của góc nhọn α và cạnh huyền BC trong tam giác vuông ABC không phụ thuộc vào việc chọn tam giác vuông đó.

Tỉ số $\frac{AC}{BC}$ có mối liên hệ như thế nào với độ lớn góc α?

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ với x ≥ 0.

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}$ với x > 1.

Xét phép biến đổi: $\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$ Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: $\frac{5}{\sqrt{3}};\frac{5\sqrt{3}}{3}.$

So sánh:

a) $\sqrt{\frac{49}{169}}$ và $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}};$

b) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ và $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với a là số không âm, b là số dương.

So sánh:

a) $\sqrt{16\cdot 0,25}$ và $\sqrt{16}\cdot \sqrt{0,25};$

b) $\sqrt{a\cdot b}$ và $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ với a, b là hai số không âm.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{x^2+6x+9}$ với x < –3;

b) $\sqrt{y^4+2y^2+1}.$

Khí trong động cơ giãn nở từ áp suất p₁ và thể tích V₁ đến áp suất p₂ và thể tích V₂ thoả mãn đẳng thức: $\frac{p_1}{p_2}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^2.$

 (Nguồn: Engineering Problems Illustrating Mathematics, John W. Cell, năm 1943).

Có thể tính được thể tích V₁ theo p₁, p₂ và V₂ được hay không?

Chiều cao ngang vai của một con voi đực ở châu Phi là h (cm) có thể được tính xấp xỉ bằng công thức: $h=62,5\cdot \sqrt[3]{t}+75,8$ với t là tuổi của con voi tính theo năm (Nguồn: Math for Real Life: Teaching Practical Uses for Algebra, Geometry and Trigonmetry, Jim Libby, năm 2017).

a) Một con voi đực 8 tuổi ở châu Phi sẽ có chiều cao ngang vai là bao nhiêu centimét?

b) Nếu một con voi đực ở châu Phi có chiều cao ngang vai là 205 cm thì con voi đó bao nhiêu tuổi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hệ quả của hiện tượng nóng lên toàn cầu là băng của một số sông băng đang tan chảy. Mười hai năm sau khi băng biến mất, những loài thực vật nhỏ bé, được gọi là địa y, bắt đầu mọc trên đá. Mỗi nhóm địa y phát triển ở dạng (gần như) một hình tròn. Đường kính d (mm) của hình tròn này có thể được tính gần đúng bằng công thức: $d=7\sqrt{t-12}$ với t là số năm tính từ khi băng biến mất (t ≥ 12) (Nguồn: Math for Real Life: Teaching Practical Uses for Algebra, Geometry and Trigonmetry, Jim Libby, năm 2017).

Tính đường kính của hình tròn do địa y tạo nên sau khi băng biến mất 13 năm; 16 năm.

Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm A, B của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA’ = 500 m, BB’ = 600 m và khoảng cách A’B’ = 2 200 m (minh họa ở Hình 6). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Giả sử vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó là điểm M trên đoạn A’B’ với MA’ = x (m), 0 < x < 2 200

a) Viết công thức tính tổng khoảng cách MA + MB theo x.

b) Tính tổng khoảng cách MA + MB khi x = 1 200 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Tính giá trị của mỗi căn thức bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{2x-7}$ tại x = –10; x = 7,5; x = –0,5;

b) $\sqrt[3]{x^2+4}$ tại x = 0; x = 2; x = $\sqrt{23}.$

Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc hai sau:

a) $\sqrt{x-6}$

b) $\sqrt{17-x}$

c) $\sqrt{\frac{1}{x}}$

Tính giá trị của $\sqrt[3]{x^3}$ tại x = 3; x = –2; x = –10.

Thể tích V của một khối lập phương được tính bởi công thức: V = a³ với a là độ dài cạnh của khối lập phương. Viết công thức tính độ dài cạnh của khối lập phương theo thể tích V của nó.