Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Gọi ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) ∆MEN ᔕ ∆BFC.

b) \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).

Cho tam giác ABC và hai điểm P, Q lần lượt nằm trên các tia đối của tia AB và AC sao cho \(\widehat {APQ} = \widehat {ACB}\). Chứng minh rằng:

a) AP . AB = AQ . AC.

b) ∆APC ᔕ ∆AQB.

Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho AM . AB = AN . AC.

a) Chứng minh rằng ∆AMN ᔕ ∆ACB.

b) Lấy E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC. Chứng minh rằng \(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\).

Với hai tam giác bất kì ABC và MNP thỏa mãn \(\widehat {ABC} = \widehat {NMP}\), \(\widehat {ACB} = \widehat {MNP}\). Những khẳng định nào sau đây là đúng ?

(1) ∆ABC ᔕ ∆MNP.

(2) ∆BCA ᔕ ∆MNP.

(3) ∆ABC ᔕ ∆NPM.

(4) ∆CAB ᔕ ∆NPM.

(5) ∆ABC ᔕ ∆PMN.

(6) ∆BAC ᔕ ∆MNP.

Với hai tam giác ABC và DEF bất kì thỏa mãn \(\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{BC}}{{DF}}\), \(\widehat {ABC} = \widehat {DFE}\). Những khẳng định nào sau đây là đúng ?

(1) ∆ABC ᔕ ∆DEF.

(2) ∆CAB ᔕ ∆DEF.

(3) ∆ABC ᔕ ∆EFD.

(4) ∆BCA ᔕ ∆EFD.

(5) ∆ABC ᔕ ∆FDE.

(6) ∆BAC ᔕ ∆FED.

Cho hai tam giác ABC và DEF thỏa mãn 2AB = 3AC = 4BC và DE = 6 cm, DF = 4 cm, EF = 4 cm. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆DEF.

Hai tam giác có độ dài ba cạnh như sau có đồng dạng không ? Vì sao ?

(1) 2 cm, 3 cm, 4 cm và 6 cm, 9 cm, 12 cm.

(2) 3 cm, 5 cm, 6 cm và 6 cm, 10 cm, 11 cm.

(3) 2 cm, 3 cm, 3 cm và 2 cm, 2 cm, 3 cm.

(4) 4 cm, 4 cm, 4cm và 3 cm, 3 cm, 3 cm.

Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25). Hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất.

b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB . IN = IC . IM.

Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$.

a) Chứng minh rằng ΔABN ∽ ΔACM.

Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 10 cm, AN = 8 cm. Chứng minh rằng ΔABC ∽ ΔANM.

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA′B′C′ ∽ ΔABC.

Chứng minh rằng $\frac{A\text{'}M\text{'}}{AM}=\frac{B\text{'}N\text{'}}{BN}=\frac{C\text{'}P\text{'}}{CP}$.

Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4 cm, 8 cm và 10 cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33 cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?

a) 6 cm, 12 cm, 15 cm.                         b) 8 cm, 16 cm, 20 cm.

c) 6 cm, 9 cm, 18 cm.                           d) 8 cm, 10 cm, 15 cm.

Giả thiết nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?

a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.

Những cặp tam giác nào trong Hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Nếu ΔA'B'C' ∽ ΔABC và anh Pi đo được A′C′ = 3,76 cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét? 

Bạn Tròn đang đứng ở vị trí điểm A bên bờ sông và nhờ anh Pi tính giúp khoảng cách từ chỗ mình đứng đến chân một cột cờ tại điểm C bên kia sông (H.9.20a). Anh Pi lấy một vị trí B sao cho AB = 10 m,$\widehat{ABC}=70°;\widehat{BAC}=80°$ và vẽ một tam giác A'B'C' trên giấy với A′B′ = 2 cm, $\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=70°;\widehat{B\text{'}A\text{'}C\text{'}}=80°$.(H.9.20b).

Em hãy dự đoán xem tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không. Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Bạn Lan nhận xét rằng nếu tam giác ABC và tam giác A'B'C' có $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$ và $\widehat{B}=\widehat{B\text{'}}$ thì chúng đồng dạng. Theo em bạn Lan nhận xét đúng không vì sao?

Cho ΔA'B'C' ∽ ΔABC. Trên tia đối của các tia CB, C'B' lần lượt lấy các điểm M, M' sao cho $\frac{MC}{MB}=\frac{M\text{'}C\text{'}}{M\text{'}B\text{'}}$. Chứng minh rằng  ΔA'B'M' ∽ ΔABM.

Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng $\widehat{A}=\widehat{A\text{'}}=60°$.

- So sánh các tỉ số $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB},\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}$.

- Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC, B'C' và tính tỉ số $\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$.

- Theo em, tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ được.

Vuông: Tớ sẽ tính tỉ lệ (7,32 : 10,98 : 14,64) bằng (1 : 1,5 : 2).

Tròn: Tớ sẽ tính tỉ lệ (7,32 : 10,98 : 14,64) bằng (2 : 3 : 4).

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27 cm. Biết rằng AB = 4 cm, BC = 6 cm, DE = 6 cm, FD = 12 cm. Chứng minh  ΔABC ∽ ΔDEF.

Những cặp tam giác nào dưới đây (H.9.13) là đồng dạng? (các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

c) Nếu A'B' > AB thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Vì sao?

- Hãy giải thích vì sao ΔAMN ∽ ΔABC.

- Hãy chứng tỏ rằng AN = A′C′, MN = B′C′ để suy ra ΔAMN = ΔA'B'C' (c.c.c).

- Hai tam giác A'B'C' và ABC có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng.

Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$.

a) Nếu A′B' = AB thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

Trong môn Bóng đá, độ khó của mỗi pha ghi bàn còn được tính bởi góc sút vào cầu môn là rộng hay hẹp. Nếu biết độ rộng của khung thành là 7,32 m, trái bóng cách hai cột gôn lần lượt là 10,98 m và 14,64 m thì em có cách nào để đo được góc sút ở vị trí này bởi các dụng cụ học tập không?

Cho tam giác ABC với AB = 6 cm, AC = 9 cm.

a) Lấy điểm M, N lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho AM = 4 cm, AN = 6 cm. Chứng minh rằng ∆AMN ᔕ ∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.

b) Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho AP = 4 cm. Chứng minh rằng ∆APB ᔕ ∆ABC.