Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MH lấy điểm D sao cho MD = MH.

a) Tứ giác AHBD là hình gì? Vì sao?

b) Gọi E là điểm đối xứng với B qua điểm H. Chứng minh ADHE là hình bình hành.

c) Kẻ $\mathrm{EF}\perp \mathrm{AC};\mathrm{HK}\perp \mathrm{AC}$$\left(\mathrm{F},\mathrm{K}\in \mathrm{AC}\right)$. Chứng minh rằng AH = HF.

d) Gọi I là trung điểm của EC. Chứng minh $\mathrm{HF}\perp \mathrm{FI}$

Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{4\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}-\frac{4}{\mathrm{x}+1}-\frac{4{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2-1}$ (với $\mathrm{x}\ne \pm 1$)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi x = -3.

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức $\mathrm{P}=\mathrm{A}(\mathrm{x}-1)$ có giá trị nguyên.

Tìm x biết

a) ${\left(\mathrm{x}-3\right)}^2-{\mathrm{x}}^2-3=0$

b) $5\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)-\mathrm{x}+3=0$

c) ${\mathrm{x}}^3-7\mathrm{x}+6=0$

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}+\mathrm{x}-\mathrm{y}$

b) ${\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-{\mathrm{y}}^2+4$

c) $2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-5$

Cho hình thoi ABCD có AC = 4 cm, BD = 6 cm. Diện tích của hình thoi ABCD là:

Hình bình hành ABCD là hình vuông khi:

Kết quả phép chia đa thức ${\mathrm{x}}^3-8$ cho đa thức ${\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+4$ là:

Điều kiện của x để phân thức $\frac{\mathrm{x}-3}{{\mathrm{x}}^2-9}$ xác định là:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và EH.

a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh ba điểm D, E, A thẳng hàng.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $\mathrm{AM}\perp \mathrm{IK}$

a) Tính nhanh giá trị của biểu thức ${55}^2+{45}^2+90.55$

b) Làm tính chia: $\left(2{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2-12{\mathrm{xy}}^3+6{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\right):2\mathrm{xy}$

a) Tìm x, biết: $5\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)-3\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-1\right)$$=2{\mathrm{x}}^2+23$

b) Thực hiện phép tính: $\frac{2}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}+\frac{1}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}+\frac{-2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2}$

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) $2\left(\mathrm{x}-3\right)-\mathrm{y}\left(\mathrm{x}-3\right)$

b) ${\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^2-\mathrm{y}-2\mathrm{xy}$

c) ${\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+6$

Hình bình hành ABCD có góc A bằng 2 lần góc B. Số đo góc D là:

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A có AB = 4 cm, BC = 5 cm. Diện tích $\mathrm{\Delta ABC}$ bằng:

Kết quả của phép tính $\frac{5\mathrm{x}+2}{3{\mathrm{xy}}^2}:\frac{10\mathrm{x}+4}{{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}}$ là

Kết quả của phép tính $\frac{4\mathrm{x}+1}{7{\mathrm{x}}^2}-\frac{1-3\mathrm{x}}{7{\mathrm{x}}^2}$ bằng

Cho a + b + c = 0 $\left(\mathrm{a}\ne 0,\mathrm{b}\ne 0,\mathrm{c}\ne 0\right)$. Tính giá trị biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{{\mathrm{a}}^2}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}+\frac{{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2}$$+\frac{{\mathrm{c}}^2}{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ cân tại A, có đường cao AH $\left(\mathrm{H}\in \mathrm{BC}\right)$. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M.

a) Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

b) Gọi n là trung điểm của AH, chứng minh N là trung điểm của EC.

c) Cho AH = 8 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích $\mathrm{\Delta AHM}$.

d) Trên tia đối của tia HA lấy điểm F. Kẻ $\mathrm{HK}\perp \mathrm{FC}\left(\mathrm{K}\in \mathrm{FC}\right)$. Gọi I, Q lần lượt là trung điểm của HK, KC. Chứng minh $\mathrm{BK}\perp \mathrm{FI}$.

Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{{\mathrm{x}}^2-9}{3\left(\mathrm{x}+5\right)}$ và $\mathrm{B}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}+\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-3}-\frac{3{\mathrm{x}}^2+9}{{\mathrm{x}}^2-9}$ với $\mathrm{x}\ne -5,\mathrm{x}\ne \pm 3$

1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2.

2. Rút gọn biểu thức B.

3. Cho P = AB. Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

1. Rút gọn biểu thức $\mathrm{x}\left(1-\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)$

2. Tìm x biết ${\left(\mathrm{x}+3\right)}^2-{\mathrm{x}}^2=45$

Phân tích đa thức thành nhân tử

1. ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}$

2. $\mathrm{xy}+\mathrm{x}+\mathrm{y}+1$

3. ${\mathrm{x}}^3-7{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}$

Chứng minh rằng với mọi a, b ta luôn có: ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+1\ge \mathrm{ab}+\mathrm{a}+\mathrm{b}$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A, trung tuyến AM. Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H, MK vuông góc với AC tại K.

a) Tứ giác AHMK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác BHKM là hình bình hành.

c) Gọi E là trung điểm của HM, F là trung điểm của KM. Gọi giao điểm của HK với AE và AF lần lượt là I và S. Chứng minh HI = KS.

d) Giả sử $\mathrm{\Delta ABC}$ có cạnh BC không đổi, có thêm điều kiện gì thì $\mathrm{\Delta ABC}$ có diện tích lớn nhất.

Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}+\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}-3}+\frac{-3{\mathrm{x}}^2-9}{{\mathrm{x}}^2-9}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 3$

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A khi $\mathrm{x}=\frac{1}{3}$

c) Tìm số nguyên x để A nhận giá trị là các số nguyên.

Tìm x, biết:

a) $10{\mathrm{x}}^2-15\mathrm{x}=0$

b) $4\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)-3\mathrm{x}+6=0$

c) $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+5\right)-\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)-3\mathrm{x}=19$

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)+4\mathrm{x}-12$

b) $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\mathrm{y}\right)+2\left(3\mathrm{y}-\mathrm{x}\right)$

c) ${\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9-{\mathrm{y}}^2$

d) ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6$

Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh $\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\left(\mathrm{c}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{c}-\mathrm{b}\right)}+\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{c}\right)}$$+\frac{\mathrm{c}-\mathrm{a}}{\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{b}-\mathrm{a}\right)}$$=\frac{2}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}+\frac{2}{\mathrm{b}-\mathrm{c}}+\frac{2}{\mathrm{c}-\mathrm{a}}$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ cân tại A ($\widehat{\mathrm{A}}<90°$) có đường cao AD và đường cao BE cắt nhau tại H. gọi F là điểm đối xứng với E qua điểm D.

a) Chứng minh rằng tứ giác BECF là hình chữ nhật.

b) AD kéo dài cắt CF tại K. Chứng minh BH = BK.

c) Vẽ hình bình hành AHBI. Chứng minh tứ giác AIBK là hình thang cân.

d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để ba điểm A, H, I là ba điểm thẳng hàng.

Cho hai biểu thức:

$\mathrm{A}=\frac{2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+13}{{\mathrm{x}}^2-9}+\frac{3}{3-\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}$ và $\mathrm{B}=1-\frac{1}{\mathrm{x}+3}$ với điều kiện $\mathrm{x}\ne \pm 3;\mathrm{x}\ne -2$

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x thỏa mãn: $\left|2\mathrm{x}-1\right|=7$

b) Rút gọn biểu thức P = A : B.

c) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị là số nguyên.

Tìm x, biết:

a) $\left(2\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+1\right)-\mathrm{x}\left(2\mathrm{x}+3\right)+1=0$

b) $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)=2$

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-6{\mathrm{xy}}^2$

b) ${\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}-\mathrm{x}-\mathrm{y}$

c) $4{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+4\mathrm{x}+1$

Cho $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\ne 0$ thỏa mãn $\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{b}}+\frac{1}{\mathrm{c}}\right)=1$. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{P}=\left({\mathrm{a}}^{19}+{\mathrm{b}}^{19}\right)\left({\mathrm{b}}^{11}+{\mathrm{c}}^{11}\right)$$\left({\mathrm{c}}^{2019}+{\mathrm{a}}^{2019}\right).$

Tìm GTNN của biểu thức $\mathrm{C}=\frac{2{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+17}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1}$ với $\mathrm{x}\ne 1$

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC = 2 AB, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AC, AH và HC.

a) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?

b) Qua điểm D kẻ Dx song song với AB, qua điểm B kẻ By song song với AC, Dx và BY cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông.

c) Chứng minh $\mathrm{\Delta BHE}$ vuông cân.

d) Chứng minh $\mathrm{MF}\perp \mathrm{FA}$

Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-2}$ và $\mathrm{B}=\frac{1}{\mathrm{x}+2}+\frac{2}{2-\mathrm{x}}+\frac{4}{{\mathrm{x}}^2-4}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 2$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi ${\text{x}}^2-2x=0$

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức C = A + B có giá trị là số nguyên.

Tìm x biết:

a) $2\left(1-3\mathrm{x}\right)+4\mathrm{x}=5$

b) $2{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-1\right)-3\mathrm{x}\left(1-\mathrm{x}\right)=0$

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $12{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{xy}-6\mathrm{x}.$

b) $4\mathrm{x}+1+4{\mathrm{x}}^2-16{\mathrm{y}}^2.$

c) $2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+5.$

Điền các từ còn thiếu vào giấy kiểm tra để được một kết quả đúng.

Cho hình chữ nhật BCDE, biết CE = 10 cm, DE = 6 cm.

a) Độ dài đoạn BF bằng …………………

b) Độ dài đoạn AE bằng …………………

c) $\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{BAF}}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{BCDE}}}=....................$

Kết quả của phép chia $\left(20{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}-16{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2-12\mathrm{xy}\right):4\mathrm{xy}$ là

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?