Cho biểu thức:

$\text{P=}\left(\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2}+\frac{2\mathrm{x}+4}{4-{\mathrm{x}}^2}\right)$$\text{.}\left(1+\frac{5}{x-3}\right)$ và $\mathrm{x}\ne 2,\mathrm{x}\ne -2,\mathrm{x}\ne 3$

a) Rút gọn P

b) Tính P khi ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2=0$, tìm x để $\mathrm{P}=\frac{4}{5}$

Giải phương trình ${\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^3+6\mathrm{x}+4=0$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A có đường cao AH và tia phân giác BI.

a) Giả sử AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính AC và AH.

b) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BI tại D. Gọi E là giao điểm của BA và CD. Chứng minh rằng EA.EB = EC.ED từ đó suy ra $\mathrm{\Delta EAD}~\mathrm{\Delta ECB}$

c) Gọi F là hình chiếu của D trên BE. Chứng minh rằng: ${\left(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DE}}\right)}^2=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}$

d) Gọi O là giao điểm của AD và FC. Chứng minh rằng ${\mathrm{S}}_{\mathrm{OFD}}=\frac{1}{4}{\mathrm{S}}_{\mathrm{OCA}}$

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một máy xúc đất theo kế hoạch mỗi ngày phải xúc 45${\mathrm{m}}^3$ đất. Nhưng khi thực hiện thì mỗi ngày máy xúc được 50${\mathrm{m}}^3$ đất. Do đó đã hoàn thành trước thời hạn 2 ngày mà còn vượt mức 30${\mathrm{m}}^3$ đất. Tính khối lượng đất mà máy phải xúc theo kế hoạch.

Giải các phương trình sau

a) $\frac{5\left(1-2\mathrm{x}\right)}{3}+\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{3\left(\mathrm{x}-5\right)}{4}-2$

b) ${\left(\mathrm{x}+2\right)}^2+\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+3\right)$$=2\left(\mathrm{x}-4\right)\left(\mathrm{x}+4\right)$

c) $\frac{3}{\mathrm{x}-1}=\frac{3\mathrm{x}+2}{1-{\mathrm{x}}^2}-\frac{4}{\mathrm{x}+1}$

d) $\frac{1}{\mathrm{x}+1}+\frac{2{\mathrm{x}}^2+1}{{\mathrm{x}}^3+1}+$$\frac{2{\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}=2\mathrm{x}$

Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

1. Hai tam giác cân thì đồng dạng với nhau

2. $\mathrm{\Delta MNP}~\mathrm{\Delta EGF}$ thì $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{FG}}$

3. Cho $\mathrm{\Delta A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta ABC}$ với tỉ số đồng dạng là k = 3 khi đó tỉ số chu vi $\mathrm{\Delta ABC}$ so với chu vi $\mathrm{\Delta A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}$ là 3.

4. $\mathrm{\Delta ABC}$ có AM là tia phân giác của góc A thì $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{MB}}$

Tập nghiệm của phương trình ${\left(\mathrm{x}+5\right)}^2=25$ là:

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tương đương với phương trình 2x + 6 = 0

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{4}{2\mathrm{x}-3}=\frac{7}{3\mathrm{x}-5}$ là:

Trong các phương trình sau, phương trình bậc nhất một ẩn là:

Giải và biện luận phương trình ẩn x theo tham số m

$\frac{\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-1}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{m}}{\mathrm{x}+1}$

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ $\mathrm{AH}\perp \mathrm{BD}$ tại H.

a) Chứng minh $\mathrm{\Delta ADH}$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta BDA}$.

b) Chứng minh $\mathrm{\Delta ADH}$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta BDA}$ và ${\text{AH}}^2=\mathrm{DH}.\mathrm{BH}$

c) Tính AD, AB biết DH = 9 cm, BH = 16 cm.

d) Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH, CD. Chứng minh rằng tứ giác MNDK là hình bình hành và $\widehat{\mathrm{AMN}}=90°$.

Hai ô tô đi từ A đến B, vận tốc ô tô thứ  nhất là 50 km/h, vận tốc ô tô thứ hai là 65 km/h. Để đi hết quãng đường AB, ô tô thứ hai cần ít thời gian hơn ô tô thứ nhất là 1h30 phút. Tính quãng đường AB.

Gải các phương trình sau

a) $\frac{7\mathrm{x}-1}{6}+2\mathrm{x}=\frac{16-\mathrm{x}}{5}$

b) ${\mathrm{x}}^2-25=\left(\mathrm{x}+5\right)\left(3-2\mathrm{x}\right)$

c) $\frac{1}{\mathrm{x}+1}-\frac{5}{\mathrm{x}-2}=\frac{15}{\left(\mathrm{x}+1\right)\left(2-\mathrm{x}\right)}$

Cho hai biểu thức

$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}-\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-1}$ và $\mathrm{Q}=\frac{4\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-1}$ với $\text{x≠0,x≠1}$

a) Tính giá trị của Q với

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để $\mathrm{A}=\frac{3}{4}$ với A = P : Q.

Giải phương trình $\mathrm{x}{\left(4\mathrm{x}-1\right)}^2\left(2\mathrm{x}-1\right)=9$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ có $\mathrm{A}=90°,$$\mathrm{AB}=30\mathrm{cm},\mathrm{AC}=40\mathrm{cm}$, đường cao AH, BD là phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$; I là phân giác của AH và BD.

a) Chứng minh đồng dạng với $\mathrm{\Delta HAC}$

b) Tính BD, DC.

c) Chứng minh $\mathrm{BD}.\mathrm{IH}=\mathrm{BI}.\mathrm{AD}$ và $\mathrm{AI}=\mathrm{AD}$

d) Chứng minh $\frac{\mathrm{HI}}{\mathrm{IA}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 10 phút rồi quay trở về A với vận tốc 35 km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian cả đi, về và nghỉ là 6 giờ 40 phút?

Cho biểu thức $\mathrm{P}=\left(\frac{1}{\mathrm{x}-2}-\frac{4}{{\mathrm{x}}^2-4}\right).\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}+1}\right)$

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.

Giải phương trình

a) $\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-5\right)={\mathrm{x}}^2-4$

b) $\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-2}-\frac{5}{2+\mathrm{x}}=\frac{12}{{\mathrm{x}}^2-4}+1$

Hai đường chéo của một hình thoi có độ dài là a và b thì diện tích của hình thoi là:

Biết AD là tia phân giác góc A của $\mathrm{\Delta ABC}(\mathrm{D}\in \mathrm{BC})$ và AB = 5 cm; AC = 10 cm; DC = 2 cm. Khi đó độ dài BD bằng:

Phương trình $2\mathrm{y}+\mathrm{m}=\mathrm{y}-1$ nhận $\mathrm{y}=3$ là nghiệm khi m bằng:

Phương trình $2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}=0$ có tập nghiệm là:

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}}+\frac{3}{2\mathrm{x}-1}=0$ là:

Trong các phương trình sau đây, đâu là phương trình bậc nhất một ẩn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${\text{P=8x}}^2+3{\mathrm{y}}^2-8\mathrm{xy}-6\mathrm{y}+21$

Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường thẳng này cắt AC tại H, cắt CD tại M.

a) Chứng minh đồng dạng với $\mathrm{\Delta CAD}$.

b) Chứng minh ${\mathrm{BC}}^2=\mathrm{CM}.\mathrm{CD}$. Tính độ dài đoạn MC, biết $\mathrm{AB}=8\mathrm{cm},\mathrm{BC}=6\mathrm{cm}$.

c) Kẻ MK vuông góc với AB tại K, Mk cắt AC tại điểm I. Chứng minh $\mathrm{BIM}=\mathrm{AMC}$

Một phân xưởng được giao nhiệm vụ sản xuất một số lượng sản phẩm trong thời gian 10 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày phân xưởng sản xuất nhiều hơn dự định 20 sản phẩm nên không những hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày mà còn làm vượt mức 40 sản phẩm. Tính năng suất dự định của phân xưởng.

Cho biểu thức $\mathrm{M}=\left(\frac{3+\mathrm{x}}{\mathrm{x}-3}+\frac{18}{9-{\mathrm{x}}^2}+\frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+3}\right)$$:\left(1-\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+3}\right)$

a) Rút gọn M và tìm điều kiện xác định M.

b) Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên.

Giải phương trình sau:

a) $\frac{\mathrm{x}-1}{3}+\frac{\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}}=2$

b) ${\mathrm{x}}^2-25=\left(2\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+5\right)$

c) $\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}-\frac{{\mathrm{x}}^2+2}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}=\frac{3}{\mathrm{x}}$

Cho ${\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2$ và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{{\mathrm{a}}^3}+\frac{1}{{\mathrm{b}}^3}+\frac{1}{{\mathrm{c}}^3}=\frac{3}{\mathrm{abc}}$

Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm BC. Tia phân giác của AMB cắt AB tại K, tia phân giác của AMC cắt AC tại D.

a) Chứng minh $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$

b) Chứng minh $\frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{BK}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$ và DK // BC.

c) Gọi E là giao điểm của AM và KD. Chứng minh E là trung điểm của KG.

d) Cho KD = 10 cm, $\frac{\mathrm{KA}}{\mathrm{KB}}=\frac{5}{3}$. Tính BC?

Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{x}-7}{\mathrm{x}-5}-\frac{10}{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}}$ với $\mathrm{x}\ne 0,\mathrm{x}\ne 5$

a) Rút gọn A

b) Tìm các giá trị nguyên của x để $\mathrm{B}=\mathrm{A}.\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}$ có giá trị nguyên.

Một ô tô chạy trên quãng đường AB. Lúc đi ô tô chạy với vận tốc 35 km/h, lúc về ô tô chạy với vận tốc 42 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là nửa giờ. Tính chiều dài quãng đường AB?

Giải các phương trình sau:

a) $2\mathrm{x}+5=3-\mathrm{x}$

b) ${\mathrm{x}}^2-49=0$

c) $\frac{1}{\mathrm{x}+1}-\frac{1}{\mathrm{x}-1}=\frac{2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-1}$

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 10 phút rồi quay trở về A với vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính quãng đường AB biết thời gian cả đi, về và nghỉ là 6 giờ 40 phút?

Cho biểu thức $\mathrm{A}=\left(\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-4}+\frac{1}{\mathrm{x}+2}-\frac{2}{\mathrm{x}-2}\right)$$:\left(1-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+2}\right)$ (với $\mathrm{x}\ne \pm 2$)

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A khi x = - 4.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là các số nguyên.

Giải phương trình

a) $\frac{3\mathrm{x}+2}{2}-\frac{3\mathrm{x}+1}{6}=2\mathrm{x}+\frac{5}{3}$

b) $\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}-6}+\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+2}=\frac{-2\mathrm{x}}{\left(3-\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}+1\right)}$

Trên hình 2, biết $\mathrm{MM}\text{'}//\mathrm{NN}\text{'},\mathrm{MN}=4\mathrm{cm},$$\mathrm{OM}\text{'}=12\mathrm{cm},\mathrm{M}\text{'}\mathrm{N}\text{'}=8\mathrm{cm}$. Số đo của đoạn thẳng OM là: