Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 25m. nếu giảm chiều dài 25m thì diện tích miếng đất sẽ nhỏ hơn diện tích ban đầu là 1000${\mathrm{m}}^2$. Tính các kích thước của miếng đất ban đầu.

Giải phương trình:

a) $\left(3\mathrm{x}-2\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)={\left(2\mathrm{x}+1\right)}^2$

b) $\frac{2}{\mathrm{x}-2}-\frac{3}{3-\mathrm{x}}=\frac{3\mathrm{x}-20}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-2\right)}$

Giải phương trình: ${\left(2017-\mathrm{x}\right)}^3+{\left(2019-\mathrm{x}\right)}^3$$+{\left(2\mathrm{x}-4036\right)}^3=0$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường phân giác của góc $\widehat{\mathrm{ABC}}$ cắt AC tại D và cắt AH tại E.

a) Chứng minh: $\mathrm{\Delta ABC}$ đồng dạng $\mathrm{\Delta ABH}$ và ${\mathrm{AB}}^2=\mathrm{BC}.\mathrm{BH}$

b) Biết AB = 9cm, BC = 15cm. Tính DC và AD.

c) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: $\widehat{\mathrm{BIH}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$

Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, vì vậy xe máy đi đến B sớm hon 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120 km.

Giải các phương trình:

a) ${\left(\mathrm{x}-5\right)}^2+3\left(\mathrm{x}-5\right)=0$

b) $\frac{2\mathrm{x}-1}{3}-\frac{5\mathrm{x}+2}{7}=\mathrm{x}+13$

c) $\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2}-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2}=\frac{7\mathrm{x}-6}{4-{\mathrm{x}}^2}$

Hãy giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

$\frac{2\mathrm{m}-1}{\mathrm{x}-1}=\mathrm{m}-2$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A, biết AB = 21 cm, AC = 28 cm, phân giác AD ($\mathrm{D}\in \mathrm{BC}$)

a) Tính độ dài DB, DC.

b) Gọi E là hình chiếu của D trên AC. Hãy tính độ dài DE, EC.

c) Chứng minh $\mathrm{\Delta ABC}$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta EDC}$. Tính tỉ số đồng dạng.

d) Gọi I là giao điểm các đường phân giác và G là trọng tâm của . Chứng minh rằng IG // AC

Lúc 7 giờ sáng một người đi xe máy chở hàng từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Khi đến B người đó giao hàng trong 15 phút rồi quay trở về A với vận tốc 40 km/h. Biết rằng người đó về đến A lúc 9 giờ 30 phút, hãy tính độ dài quãng đường AB.

Giải các phương trình sau

a) $\frac{2\mathrm{x}-3}{4}+2=\frac{1-\mathrm{x}}{6}$

b) ${\mathrm{x}}^2-11\mathrm{x}+18=0$

c) ${\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2=0$

d) $\frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}=\frac{-4}{4-{\mathrm{x}}^2}$

Cho biểu thức $\mathrm{P}=\frac{8}{{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}}+\frac{5}{\mathrm{x}+4}-\frac{2}{\mathrm{x}}$ với $\mathrm{x}\ne 0,\mathrm{x}\ne -4$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P tại $\mathrm{x}=\frac{1}{2}$

Cho phương trình $\frac{\mathrm{x}+\mathrm{a}}{\mathrm{x}+1}+\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}}=2$. Xác định giá trị của a để phương trình vô nghiệm.

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A, đường cao AH

a) Chứng minh $\mathrm{\Delta ABC}~\mathrm{\Delta HBA}$

b) Chứng minh ${\mathrm{AH}}^2=\mathrm{BH}.\mathrm{CH}$

c) Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC. Cho biết BH = 4 cm, CH = 16 cm, hãy tính độ dài DE.

d) Kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC. Tính tỉ số diện tích của $\mathrm{\Delta AMH}$ và $\mathrm{\Delta ABC}$ khi biết BH = 4cm, CH = 16 cm.

Một người đi từ A đến b với vận tốc trung bình 20 km.h. Lúc quay trở về A, người đó đi con đường khác dài hơn đường trước 10 km nhưng đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 6 km/h. Vì vậy thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi là 1 giờ. Tính chiều dài của con đường người đó đã đi từ A đến B.

Giải phương trình

a) $\frac{\mathrm{x}-5}{4}-2\mathrm{x}+1=\frac{\mathrm{x}}{3}-\frac{2-\mathrm{x}}{6}$

b) ${\left(2\mathrm{x}-1\right)}^2=\left(\mathrm{x}-2\right)\left(2\mathrm{x}-1\right)$

c) $\frac{\mathrm{x}+5}{\mathrm{x}-5}-\frac{\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}+5}=\frac{-3}{25-{\mathrm{x}}^2}$

d) ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-12=0$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$, BD là tia phân giác của góc $\widehat{\mathrm{B}}$ ($\mathrm{D}\in \mathrm{AC}$), khi đó ta có:

$\mathrm{\Delta ABC}~\mathrm{\Delta DEF}$ nếu:

Phương trình 7x + 1 = 2x tương đương với phương trình nào sau đây

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{\mathrm{x}}{3-\mathrm{x}}=\frac{5\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)}$ là:

1. $\mathrm{AE}=20\mathrm{cm},\mathrm{BE}=8\mathrm{cm},$$\hspace{0.17em}\mathrm{BD}=53\mathrm{cm}$. Tính độ dài các đoạn thẳng AD, CB

2. Cho BE là tia phân giác $\widehat{\mathrm{ABC}}$ và $\mathrm{BE}\perp \mathrm{BM};$$\hspace{0.17em}\mathrm{BC}=5\mathrm{cm};\mathrm{BA}=\mathrm{AC}=3\mathrm{cm}$. Tính độ dài các đoạn thẳng AE, EC, AM.

3. Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ có AB = 5cm, AC = 10 cm, BC = 7 cm. $\mathrm{\Delta ABC}~\mathrm{\Delta DGH}$ và DH = 15 cm. Tính độ dài các cạnh của $\mathrm{\Delta DGH}$

Điền vào chỗ chấm (…)

a) Tỉ số của hai đoạn thẳng có độ dài 80 mmmm và 10 dm bằng ……

b) Nếu trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho $\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{MA}}=\frac{\mathrm{NC}}{\mathrm{NA}}$ thì ………

c) Nếu $\mathrm{\Delta ABC}~\mathrm{\Delta MNP}$ và $\mathrm{\Delta NMP}~\mathrm{\Delta EGH}$ thì ……

d) Nếu $\mathrm{\Delta ABC}~\mathrm{\Delta DMN}$ theo tỉ số đồng dạng k = 3 thì $\mathrm{\Delta DMN}~\mathrm{\Delta ABC}$ theo tỉ số đồng dạng............

e) Nếu ………… đồng dạng với $\mathrm{\Delta A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}$ theo tỉ số đồng dạng k = …. thì $\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}}=\frac{1}{4}$

Cho phương trình $\frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}\left(1\right)$ (với m là tham số)

a) Tìm m để phương trình (1) nhận x = 4 là nghiệm của phương trình.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Một đội công nhân dự định trong một ngày sửa được 40m đường. Nhưng do thời tiết không thuận lợi nên thực tế mỗi ngày họ sửa được một đoạn ít hơn 10m so với dự định và vì vậy họ phải kéo dài thời gian làm việc thêm 6 ngày. Tính chiều dài đoạn đường đội công nhân dự định sửa.

Giải các phương trình sau

a) $3\mathrm{x}+1=\frac{-7}{2}$

b) $\frac{\mathrm{x}+4}{5}+\frac{3\mathrm{x}+2}{10}=7$

c) ${\left(3\mathrm{x}-5\right)}^2-2\left(9{\mathrm{x}}^2-25\right)=0$

d) $\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-2}+\frac{5}{\mathrm{x}+2}=\frac{12}{{\mathrm{x}}^2-4}+1$

Các khẳng định sau đúng (Đ) hay sai (S)?

1. $\left(\mathrm{x}+3\right)\left(4\mathrm{x}-8\right)=0$ là phương trình bậc nhất

2. $\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)}{2{\mathrm{x}}^2-1}=0$ và $\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+3\right)=0$ là hai phương trình tương đương.

3. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{\mathrm{x}}^2-6}{{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{x}+\frac{3}{{\mathrm{x}}^2+1}$ là $\mathrm{x}\ne 0;\mathrm{x}\ne 1;\mathrm{x}\ne -1$

4. Phương trình $\left(2\mathrm{m}-1\right)\mathrm{x}=\mathrm{m}+8$ vô nghiệm khi $\mathrm{m}=\frac{1}{2}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh: $\mathrm{\Delta AHB}~\mathrm{\Delta CAB}$

b) Chứng minh: ${\mathrm{AH}}^2=\mathrm{BH}.\mathrm{CH}$

c) Từ H kẻ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC tại M và N. Chứng minh: $\mathrm{\Delta AMN}~\mathrm{\Delta ACB}$

d) Kẻ đường thẳng AK vuông góc với MN tại K cắt BC tại I. Chứng minh: I là trung điểm của BC.

Tính độ dài x, y trong các hình vẽ sau:

Giải phương trình sau: $2{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+5=0$

Cho phương trình, với x là ẩn số, m là tham số

${\mathrm{m}}^2\mathrm{x}-2={\mathrm{m}}^2+3\mathrm{m}+4\mathrm{x}$

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Tìm m để phương trình vô nghiệm.

Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Lúc về xe đi với vận tốc 28 km/h. Tính độ dài quãng đường AB biết thời gian cả đi và về là 14 giờ 30 phút.

Giải các phương trình sau

a) $5\left(3\mathrm{x}+2\right)=4\mathrm{x}-1$

b) $\left(3\mathrm{x}-1\right)\left(4\mathrm{x}+3\right)+2\left(3\mathrm{x}-1\right)=0$

c) $\frac{\mathrm{x}}{2\left(\mathrm{x}-3\right)}+\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+2}=\frac{2\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-3\right)}$

Cho ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=200$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{M}=2\mathrm{xy}-\mathrm{yz}-\mathrm{zx}$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh đồng dạng với $\mathrm{\Delta HBA}$, từ đó suy ra $\mathrm{AB}.\mathrm{AH}=\mathrm{BH}.\mathrm{AC}$

b) Tia phân giác của góc $\widehat{\mathrm{ABC}}$ cắt AH tại I. Biết BH = 3cm, AB = 5 cm. Tính AI, HI

c) Tia phân giác góc $\widehat{\mathrm{HAC}}$ cắt BC tại K. Chứng minh IK // AC.

d) Gọi M là giao điểm của AK và IC, N là trung điểm của AC. Chứng minh: H, M, N thẳng hàng

Giải các phương trình sau

a) $9{\mathrm{x}}^2-3=\left(3\mathrm{x}+1\right)\left(2\mathrm{x}-3\right)$

b) $\frac{3\mathrm{x}}{\mathrm{x}-5}+\frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{4\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-5\right)}+3$

Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất một lô hàng, theo đó mỗi giờ phải làm 30 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi giờ tổ chỉ sản xuất được 27 sản phẩm, do đó tổ đã hoàn thành lô hàng chậm hơn so với dự kiến 1 giờ 10 phút. Hỏi số sản phẩm mà tổ sản xuất theo kế hoạch là bao nhiêu?

Cho biểu thức

$\mathrm{P}=\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+1}{{\mathrm{x}}^2-9}-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}+\frac{5}{3-\mathrm{x}}\right)$$:\left(\frac{2\mathrm{x}+10}{\mathrm{x}+3}-1\right)$ với $\mathrm{x}\ne 3,\mathrm{x}\ne -3,\mathrm{x}\ne -7$

a) Rút gọn P

b) Tính P khi $\left|\mathrm{x}-1\right|=2$

c) Tìm x để $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{x}+5}{6}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{Q}=\frac{5{\mathrm{x}}^2-24\mathrm{x}+29}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4}$ khi $\mathrm{x}\ne 2$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ có AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 5 cm. Phân giác BD.

a) Tính AD, DC

b. Vẽ AM // BC ($\mathrm{M}\in \mathrm{BD}$). Tính AM?

c) Trên tia đối của tia BC lấy điểm N sao cho BN = BC. Vẽ $\mathrm{BE}\perp \mathrm{BD} (\mathrm{E}\in \mathrm{AN})$. Tính tỉ số $\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{NE}}$

Giải các phương trình sau:

a) $4\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)-\left(\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}-3\right)=9$

b) $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2}+\frac{1}{\mathrm{x}}=1$

Một ô tô khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc 45 km/h. Đến B người đó ngay lập tức quay trở về A với vận tốc 40 km/h. Biết rằng thời gian kể từ lúc xuất phát tới khi về đến A là 5 giờ 40 phút. Tính chiều dài quãng đường AB?