Cho phương trình (ẩn x) $\mathrm{mx}-2+\mathrm{m}=3\mathrm{x}$

1. Tìm m để phương trình đã cho nhận $\mathrm{x}=\frac{1}{2}$ làm nghiệm.

2. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m

Giải phương trình

1. $\frac{2\mathrm{x}-1}{3}-\frac{\mathrm{x}-1}{2}+\frac{\mathrm{x}+1}{6}=1$

2. $2\left(\mathrm{x}-3\right)\left({\mathrm{x}}^2+8\right)+15\mathrm{x}-5{\mathrm{x}}^2=0$

3. $\frac{3\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+1}-\frac{2\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}-3}+\frac{7}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}=1$

Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các lập phương của ba số bằng lập phương số thứ tư.

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông ở A có AB = 3cm, AC = 4cm, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB = BE.

a) Chứng minh $\mathrm{\Delta HBA}~\mathrm{\Delta ABC}$

b) Chứng minh ${\mathrm{BE}}^2=\mathrm{BH}.\mathrm{BC}$

c) Tính BC, AH

d) Tia phân giác của $\mathrm{\Delta }$ABC cắt AC tại D. Tính tỉ số $\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{CED}}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}}$

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 kmh. Khi đến B ô tô trả hàng mất 2 giờ rồi quay về A với vận tốc 40 km/h. Tổng thời gian đi, trả hàng ở B và về mất 10 giờ 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.

Giải các phương trình sau:

a) $3\left(5\mathrm{x}-2\right)-7\mathrm{x}=10$

b) $\frac{2\mathrm{x}+1}{3}+\frac{3\mathrm{x}-2}{2}=\frac{1}{6}$

c) ${\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-6=0$

d) $\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{x}+1}=\frac{2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}$

Cho biểu thức

$\mathrm{P}=\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2-4}\right):\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+2}$ với $\mathrm{x}\ne -1,\mathrm{x}\ne \pm 2$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P tại $\text{x=}\frac{1}{2}$

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}+\frac{1}{\mathrm{z}}=4$

Chứng minh $\text{A=}\frac{1}{2\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}+\frac{1}{\mathrm{x}+2\mathrm{y}+\mathrm{z}}$$+\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{y}+2\mathrm{z}}\le 1$

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao và BD là đường phân giác, gọi I là giao điểm của AH và BD.

a) Chứng minh $\mathrm{\Delta ABD}~\mathrm{\Delta HBI}$

b) Chứng minh $\mathrm{\Delta ADI}$ cân

c) Chứng minh $\mathrm{IH}.\mathrm{DC}=\mathrm{IA}.\mathrm{DA}$

Hai lớp 9A và 9B có 80 học sinh. Trong đợt góp sách ủng hộ mỗi em lớp 9A góp 2 quyển và mỗi em lớp 9B góp 3 quyển nên cả hai lớp góp được 198 quyển. Tìm số học sinh của mỗi lớp.

Giải các phương trình sau:

a) $3\mathrm{x}-7=13-\mathrm{x}$

b) $\frac{\mathrm{x}+2}{6}+\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{x}-3}{8}$

c) $5\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-6\right)-2\mathrm{x}+12=0$

d) $\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{x}+1}=\frac{2\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}$

Giải và biện luận phương trình sau theo ẩn số m

$\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+2+\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+2-\mathrm{m}}$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông ở A, đường cao AH.

a) Chứng minh $\mathrm{\Delta AHB}~\mathrm{\Delta CAB}$ và $\mathrm{AH}.\mathrm{CB}=\mathrm{AB}.\mathrm{AC}$

b) Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Tứ giác DHEA là hình gì? Vì sao?

c) Cho AB = 9cm, AC = 12cm. Tính DE.

d) Chứng minh rằng ${\mathrm{AH}}^2=\mathrm{DA}.\mathrm{DB}+\mathrm{EA}.\mathrm{EC}$

Một tỏ sản xuất dự định làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Tổ dự định mỗi ngày làm 120 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ làm được 150 sản phẩm. Vì vậy tỏ đã làm xong trước thời gian dự định 4 ngày và còn làm thêm được 10 sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm mà tổ đã dự định làm.

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2\mathrm{x}}{3}+\frac{3\mathrm{x}-1}{6}=\frac{\mathrm{x}}{2}$

b) $3{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}=\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+3\right)$

c) $\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+2}-\frac{3}{\mathrm{x}-2}=\frac{2\mathrm{x}-22}{{\mathrm{x}}^2-4}$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$, BD là tia phân giác của góc $\widehat{\mathrm{B}},\mathrm{D}\in \mathrm{AC}$. Khi đó:

Cho $\mathrm{\Delta ABC}~\mathrm{\Delta MNP}$ theo trường hợp cạnh góc cạnh nếu có:

Số nghiệm của phương trình $\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)\left(5\mathrm{x}+10\right)=0$ là?

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{\mathrm{x}}{3-\mathrm{x}}=\frac{5\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)}$

Giải phương trình sau: ${\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}^2+3\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2+1\right)+2{\mathrm{x}}^2=0$

Cho tam giác AOB, có Ab = 18cm, OA = 12cm, OB = 9cm. trên tia ngoài tia OB lấy điểm của AD và BC.

a) Tính độ dài OC, CD

b) Chứng minh rằng $\mathrm{FD}.\mathrm{BC}=\mathrm{FC}.\mathrm{AD}$

c) Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh OM = ON.

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 15 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc trung bình là 12 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 22 phút. Tính độ dài quãng đường từ A đến B.

Giải phương trình

a) $2\mathrm{x}+4=\mathrm{x}-1$

b) $2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)-5\left(\mathrm{x}-3\right)=0$

c) $\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}=\frac{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+8}{\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}-4\right)}$

Giải phương trình sau: $6{\mathrm{x}}^4-5{\mathrm{x}}^3-38{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6=0$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A, đường cao AH, H thuộc BC

a) Chứng minh $\mathrm{\Delta ABC}$ đồng dạng $\mathrm{\Delta AHC}$

b) Chứng minh $\mathrm{\Delta AHB}$ đồng dạng $\mathrm{\Delta AHC}$ từ đó suy ra ${\mathrm{AH}}^2=\mathrm{BH}.\mathrm{HC}$

c) Kẻ đường phân giác BE của $\mathrm{\Delta ABC}$ (E thuộc AC). Biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tính độ dài các đoạn thẳng AE, EC

d) Trong $\mathrm{\Delta AEB}$ kẻ đường phân giác EM (M thuộc AB). Trong  kẻ đường phân giác EN (N thuộc BC). Chứng minh $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MA}}.\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}.\frac{\mathrm{CN}}{\mathrm{BN}}=1$

Một xe máy dự định đi từ A đến B với vận tốc 35 km/h. Nhưng khi đi được một nửa quãng đường AB thì xe bị hỏng nên dừng lại sửa 15 phút, để kịp đến B đúng giờ người đó tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại. Tính độ dài quãng đường AB.

Cho phương trình: $2\left(\mathrm{m}-2\right)\mathrm{x}+3=\mathrm{m}-5\left(1\right)$

a) Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc nhất một ẩn

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) tương đương với phương trình: $2\mathrm{x}+5=\left(\mathrm{x}+7\right)-1(*)$

Giải các phương trình sau:

a) $4\left(\mathrm{x}+2\right)-1=\mathrm{x}-5$

b) $\left(\mathrm{x}-2\right)\left(2\mathrm{x}-1\right)=5\left(\mathrm{x}-2\right)$

c) $\frac{\mathrm{x}+5}{\mathrm{x}-5}-\frac{\mathrm{x}-5}{\mathrm{x}+5}=\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+25\right)}{{\mathrm{x}}^2-25}$

Cho đoạn thẳng AB = 2a, O là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh O quay quanh điểm O và các cạnh của nó cắt Ax ở C và By ở D. Từ O hạ OI vuông góc với CD.

a) Chứng minh: ${\mathrm{OC}}^2=\mathrm{IC}.\mathrm{DC}$

b) Chứng minh $\mathrm{\Delta ACO}~\mathrm{\Delta BOD}$. Từ đó suy ra: $\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OD}}$

c) Chứng minh tích AC.BD không đổi khi góc quay quanh O. Chứng minh tam giác AIB vuông

d) Hạ IH vuông góc với AB. Chứng minh BC cắt IH tại trung điểm M của IH.

Một phân xưởng phải hoàn thành số sản phẩm theo kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng thực tế mỗi ngày, xưởng làm vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành trong 24 ngày và còn làm thêm được 60 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà xưởng phải làm theo kế hoạch

Cho phương trình $\frac{{\mathrm{m}}^2+3}{\mathrm{m}+3}\mathrm{x}-1=0$ (1)

a) Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc nhất một ẩn.

b) Tìm m để phương trình (1) tương đương với phương trình:

$\frac{1}{\mathrm{x}+1}+{\mathrm{x}}^2=1+\frac{1}{\mathrm{x}+1}$ (2)

c) Tìm giá trị nguyên của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.

Giải các phương trình sau:

a) $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)+3$

b) $\mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}+1}{3}=\frac{2\mathrm{x}+1}{5}$

c) $\frac{2}{\mathrm{x}+3}-\frac{3}{\mathrm{x}-3}=\frac{2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2-15}{{\mathrm{x}}^2-9}$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{M}=\frac{{\mathrm{x}}^2+1}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}$

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: $\mathrm{AF}.\mathrm{AB}=\mathrm{AE}.\mathrm{AC}$ và $\widehat{\mathrm{AEF}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$

b) Chứng minh: EB là tia phân giác của góc $\widehat{\mathrm{DEF}}$

c) Gọi giao điểm của AD và EF là K. Chứng minh rằng: $\mathrm{AK}.\mathrm{HD}=\mathrm{HK}.\mathrm{AD}$

a) Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h, nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ 15 phút, để đến B đúng thời gian đã định người đó phải tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB?

b) Cho $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}}=1$ và $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{z}}=0$. Chứng minh rằng: $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}+\frac{{\mathrm{z}}^2}{{\mathrm{c}}^2}=1$

Giải các phương trình sau:

a) $3\left(\mathrm{x}+2\right)=2\mathrm{x}-1$

b) $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}-\frac{2\mathrm{x}-1}{3-\mathrm{x}}=\frac{2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-9}$

c) $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-4\right)=12$

d) $\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-5\right)\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+4\right)=-18$

Cho biểu thức $\text{A=}\left(\frac{4\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}+\frac{2}{\mathrm{x}-2}-\frac{6-5\mathrm{x}}{4-{\mathrm{x}}^2}\right)$$:\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-2}$

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x thỏa mãn ${\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}=8$

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn $0<\mathrm{a}\le \mathrm{b}\le \mathrm{c}$. Chứng minh rằng: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\ge \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A, AB < AC, AH là đường cao.

a) Chứng minh $\mathrm{\Delta HAC}$ và $\mathrm{\Delta ABC}$ đồng dạng.

b) Chứng minh ${\mathrm{HA}}^2=\mathrm{HB}.\mathrm{HC}$

c) Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC. Chứng minh ${\text{CH.CB=4DE}}^2$

d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC tại B và đường thẳng DE. Gọi N là giao điểm của AH và CM. Chứng minh N là trung điểm của AH.

Cho phương trình $\left({\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}+3\right)\mathrm{x}-6=0$ (m là tham số)

a) Tìm giá trị của m để phương trình nhận x = 2 là một nghiệm.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm x duy nhất đạt giá trị lớn nhất.