Thực hiện phép tính:

a) \(\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { - \frac{{49x}}{{12{y^3}}}} \right)\);

b) \( - \frac{{36{y^3}}}{{15{x^4}}}.\left( { - \frac{{45{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right)\);

c) \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\);

d) \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}.\frac{{1 - 3x + 3{x^2} - {x^3}}}{{9x + 27}}\).

Một miếng bìa có dạng hình vuông với độ dài cạnh là x (cm). Người ta cắt đi ở mỗi góc của miếng bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh là y (cm) với 0 < 2y < x (Hình 2).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 4; y = 1.

Chứng tỏ giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến (với \(a\) là một số):

a) \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ax - ay} \right)}}\) (a ≠ 0);

b) \(\frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} - {x^2}}}{{2x + a}}\).

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}};\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}}\) và \(\frac{x}{{20{y^3}z}}\);

b) \(\frac{x}{{2x + 6}}\) và \(\frac{4}{{{x^2} - 9}}\);

c) \(\frac{{2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\);

d) \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}}\) và \(\frac{3}{{5{x^2} - 5}}\).

Tính giá trị của biểu thức:

a) \(A = \frac{{{x^5}{y^2}}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}}\) tại x = 1 ; y = 2;

b) \(B = \frac{{ - 4\left( {x - 2} \right){x^2}}}{{20\left( {2 - x} \right){y^2}}}\) tại \(x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{5}\);

c) \(C = \frac{{{x^2} - 8x + 7}}{{{x^2} - 1}}\) tại x = –7;

d) \(D = \frac{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\) tại x = 0,5; y = 0,6.

Rút gọn mỗi phân thức sau:

a) \(\frac{{25{x^2}{y^3}}}{{35{x^3}{y^2}}}\);

b) \(\frac{{x - y}}{{y - x}}\);

c) \(\frac{{{{\left( { - x} \right)}^5}{y^2}}}{{{x^2}{{\left( { - y} \right)}^3}}}\);

d) \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4{x^2} + 4x}}\).

Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?

a) \(\frac{x}{{5x + 5}}\) và \(\frac{1}{5}\).

b) \(\frac{{ - x}}{{x - 5}}\) và \(\frac{{ - x\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}\).

c) \(\frac{{ - 5}}{{ - x - y}}\) và \(\frac{5}{{x + y}}\).

d) \(\frac{{ - x}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\) và \(\frac{x}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}\).

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy giải thích vì sao có thể viết:

a) \(\frac{{{x^2}{y^3}}}{{2{x^2}{y^2}}} = \frac{y}{2}\);

b) \(\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\);

c) \(\frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{{x^3} + 27}} = \frac{1}{{x + 3}}\).

Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) \(\frac{3}{{2x\left( {5 - x} \right)}}\);

b) \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 4}}\);

c) \(\frac{x}{{{y^2} + 2xy}}\);

d) \(\frac{{6,4y}}{{0,4{x^2} + 0,4x}}\).

Cho tam giác ABC có cạnh BC = 2x (dm), đường cao AH = x (dm) với x > 0 và hình vuông MNPQ có cạnh MN = y (dm) với y > 0 (Hình 4).

=

a) Viết công thức tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP dưới dạng tích.

b) Tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP, biết x ‒ y = 2 và x + y = 10.

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(A = {x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4}\) biết \(x + \frac{y}{2} = 100\).

b) B = 25x²z ‒ 10xyz + y²z biết 5x ‒ y = ‒20 và z = ‒5.

c) C = x³yz + 3x²y²z + 3xy³z + y⁴z biết x + y = ‒0,5 và yz = 8.

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) x³(13xy ‒ 5) ‒ y³(5 ‒ 13xy);

b) 8x³yz + 12x²yz + 6xyz + yz.

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) \(25{x^2} - \frac{1}{4}\);

b) 36x² + 12xy + y²;

c) \(\frac{{{x^3}}}{2} + 4\);

d) 27y³ + 27y² + 9y + 1.

Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a) C = ‒(5x ‒ 4)² + 2 023;

b) D = ‒36x² + 12xy ‒ y² + 7.

Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:

a) A = 4x² ‒ 4x + 23;

b) B = 25x² + y² + 10x ‒ 4y + 2.

Không tính giá trị của biểu thức, hãy so sánh:

a) M = 2021.2023 và N = 2022²;

b) P = 3(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1) + 2 và Q = (2²)⁸.

Tính nhanh:

a) 202²;

b) 299.301;

c) 95³ + 15.95² + 3.95.25 + 5³;

d) 9(10² + 10 + 1) + 100(98² + 392 + 2²).

Rút gọn rồi tính giá trị của mỗi biểu thức:

a) A = (5x + 4)(5x ‒ 4) ‒ (5x + 1)² + 123 tại x = ‒1;

b) B = (2x + 1)(4x² ‒ 2x + 1) ‒ 2x(4x² ‒ 5) ‒ 11 tại \(x = \frac{1}{4}\);

c) C = (4x + y)³ ‒ (4x ‒ y)³ ‒ 2y(y² +48x²) ‒ 22x + 24y tại \(x = - \frac{1}{{22}};y = - \frac{1}{4}\).

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 8x³ + 12x² + 6x + 1;

b) 8x³ ‒ 36x²y + 54xy² ‒ 27y³.

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 9x² +12x + 4;

b) 121y² ‒ 110y + 25;

c) 36x² ‒ 96xy + 64y².

Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m) với 1 < y < x. Người ta để lối đi có độ rộng 1 (m) (phần không tô màu) như Hình 2.

a) Viết đa thức \(S\) biểu thị diện tích phần còn lại của mảnh đất đó.

b) Tính giá trị của \(S\) tại x = 9; y = 5,4.

Cho hai đơn thức: A = ‒132x^{n + 1}y¹⁰z^{n + 2}; B = 1,2x⁵yⁿz^{n + 1} với n là số tự nhiên.

a) Tìm các số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

b) Tìm đa thức P sao cho P = A : B.

c) Tính giá trị của đa thức P tại n = 9; x = 2; y = –1; z = 5,8.

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) M = (x ‒ 1)(x² + x + 1) ‒ x²(x ‒ 1) ‒ x² ‒ 23;

b) \(N = \left( {x - \frac{1}{2}y} \right)\left( {{x^2} + 2y} \right) - x\left( {{x^2} + 2y} \right) + y\left( {\frac{1}{2}{x^2} + y} \right) - \frac{1}{2}\).

Rút gọn biểu thức:

a) 2x(x² + y) ‒ x(2y + 1) ‒ x(2x² ‒ 21y);

b) 5x(6y ‒ x²) + 3y(y ‒ 10x) ‒ 3y(y ‒ 1) + 15x³;

c) 18x^{n + 1}(y^{n + 1} + x^{n + 3}) + 9y³(‒2x^{n + 1}y^{n ‒ 2} + 1) với n là số tự nhiên lớn hơn 2.

Cho hai đa thức: A = x⁷ ‒ 4x³y² ‒ 5xy + 7; B = x⁷ + 5x³y² ‒ 3xy ‒ 3.

a) Tìm đa thức C sao cho C = A + B.

b) Tìm đa thức D sao cho A + D = B.

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(A = - {x^3}{y^2} + 2{x^2}{y^5} - \frac{1}{2}xy\) tại \(x = 2;y = \frac{1}{2}\);

b) \(B = {y^{12}} + {x^5}{y^5} - 100{x^4}{y^4} + 100{x^3}{y^3} - 100{x^2}{y^2} + 100xy - \sqrt {36} \) tại x = 99, y = 0;

c) \(C = x{y^2} + {5^2}xz - \sqrt 3 xy{z^3} + 25\) tại \(x = \frac{{ - 1}}{2};y = - \sqrt 3 ;z = 2\).

Thu gọn mỗi đa thức sau:

a) \({x^2}{y^5} + 2x{y^2} - {x^2}{y^5} + \frac{{24}}{{35}}x{y^2}\);

b) ‒11y²z³ ‒ 22xy³z³ + 2y²z³ ‒ 33xy³z³ ‒ 72;

c) \(\frac{{\sqrt 4 }}{{41}}{x^2}{y^4}{z^3} + {x^2}{y^4}z + \frac{{39}}{{41}}{x^2}{y^4}{z^3} - {x^2}{y^4}z + {z^{18}}\).

Thực hiện phép tính:

a) xy³ ‒ 2xy³ ‒ 12xy³;

b) \(\frac{{ - 12}}{{43}}{x^2}y + 2{x^2}y + \frac{{ - 31}}{{43}}{x^2}y\);

c) \(\frac{{ - \sqrt {16} }}{{75}}{x^6}{y^9}z + \frac{{ - \sqrt {49} }}{{15}}{x^6}{y^9}z - \frac{1}{5}{x^6}{y^9}z\).

Thu gọn mỗi đơn thức sau:

a) \(\frac{{ - 9}}{{17}}{x^{23}}{y^{22}}{y^{14}}\).

b) \(\frac{2}{{\sqrt {121} }}x{y^3}z{y^2}{z^3}\).

c) \(\frac{{ - 187}}{{124}}{x^4}{y^6}{z^8}{x^5}{y^2}{z^{10}}\).

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

 \[\frac{{\sqrt 2 }}{{11}}x;{\rm{\;\;\;\;\;\;}} - 3x + {y^4};{\rm{\;\;\;\;\;\;\;}} - 3x{y^4}z;{\rm{\;\;\;\;\;\;\;}}\frac{{ - 1}}{{321}}{x^3}{y^5} + 7\].

b) Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?

 \[\frac{{ - 13}}{{21}}{x^3}{y^2} + 9x{y^6} - 8;{\rm{\;\;\;\;\;}}x + y;{\rm{\;}}xyz + \sqrt 2 ;{\rm{\;\;\;\;\;\;}}\frac{{x - 5z}}{{{x^2} + {z^2} + 1}}.\]

Hình 23 mô tả một lều trại gồm hai phần: phần dưới có dạng hình lập phương với cạnh là 3 m; phần trên có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là 1,8 m. Tính thể tích của lều trại đó.

Hình 22 mô tả một vật thể có dạng hình chóp tứ giác đều được tạo ra sau khi cắt bỏ một phần từ một khúc gỗ có dạng hình lập phương với cạnh là 30 cm. Tính thể tích của phần gỗ đã bị cắt bỏ.

Cho một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là 10 cm và độ dài trung đoạn là 13 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó.

Cho một hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 20 cm và độ dài trung đoạn là 30 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó.

Trong các miếng bìa ở hình 21a, 21b, 21c, 21d, miếng bìa nào có thể gấp (theo các nét đứt) và dán lại để được hình chóp tam giác đều? Hình chóp tứ giác đều?