Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $\alpha$, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SHK)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều, H là trung điểm BC, $AH=5a$. Gọi O là điểm thuộc đoạn AH sao cho $AO=a$, $SO\perp \left(ABC\right)$, $SO=2a$, Cô sin của góc tạo bởi 2 đường thẳng AB và SC bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $\alpha$, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của SB, N là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BN bằng

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh $\alpha$. Điểm M đi động trên đoạn BD, điểm N di động trên đoạn AB'. Đặt BM=B'N=t.  Đoạn MN bằng $\frac{a}{\sqrt{2}}$ khi t bằng

Cho hình chóp tam giác đều SABC có chiều cao $\alpha$, cạnh bên bằng 2$\alpha$. Tính thể tích V của khối chóp SABC

Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, $AB=2a$, $BC=a$ góc ABC bằng 120⁰, SD vuông góc với mặt phẳng đáy, $SD=\alpha \sqrt{3}$ Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng (SAC)

Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $\alpha$ có thể tích bằng 

Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp mp\left(ABC\right)$, 

$SA=\frac{4a}{5}$, 

$AB=AC=a$, $BC=\frac{6a}{5}$. Gọi M là trung điểm của BC và $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng AC, SM. Tính $\cos \alpha$ 

Cho hình chóp SABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh $\alpha$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và mặt đáy bằng 60⁰. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC)

Cho hình chóp SABC có $AB=\alpha$, $BC=\alpha \sqrt{3}$, $\widehat{ABC}=30°$ Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp SABC bằng

Cho khối chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120°$, $BB\text{'}=a$, I

 là trung điểm của CC' Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). Tính $\cos \left(\alpha \right)$

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' có cạnh bằng $\alpha$ Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho $AM=\frac{1}{3}AB$. Khoảng cách từ điểm C tới mặt phẳng (B'DM) bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Biết rằng, thể tích của khối chóp S.ABCD bằng $2{\alpha }^3$và diện tích tam giác SAB bằng ${\alpha }^2$  Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2$\alpha$. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm H của BC, góc giữa AA’ và (ABC) bằng 45⁰. Thể tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’ bằng

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh $\alpha$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60⁰. Thể tích của khối chóp SABC bằng 

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $\alpha$ , tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp SABCD bằng

Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh $2a$, biết thể tích của khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng $a^3$ .  Khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và B'C' bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng $\alpha$. Cô sin của góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên BCC'B' là hình vuông cạnh $2\alpha$. Thể tích của khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB = 2, $\widehat{ABC}=60°$. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của BC, góc giữa SA và mặt đáy bằng 45⁰. Thể tích của khối chóp SABC bằng

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, $\widehat{ACB}=60°$, B'C tạo với mặt phẳng AA'CC' một góc $30°$. Thể tích của khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng 

Cho hình chóp S.ABC có AC=SC=a, SA=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Biết thể tích của khối chóp S.ABC bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$. Khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SAC) bằng

Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và AD bằng 60$°$. Tính thể tích khối chóp SABCD bằng

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Thể tích khối tứ diện AB’C’D’ bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 60$°$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB’ bằng 

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, AC’ tạo với mặt bên (BCC’B’) một góc 30$°$. Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2;-1;3) trên mặt phẳng (P):x-2y+z-1=0 có tọa độ là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho một khối lăng trụ có thể tích là $\sqrt{3}{a}^3$, đáy là tam giác đều cạnh a. Chiều cao h của khối lăng trụ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và các mặt bên của hình chóp đều bằng a (a thay đổi). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích của S.ABCD 

Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD  là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABCD)  và SA=2a Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lập phương S.ABCD có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA\perp \left(ABCD\right)$,$SA=\alpha \sqrt{6}$ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy, $SA=\alpha \sqrt{6}$ Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA $\perp$(ABC), SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).

Cho tứ diện S.ABC, trên cạnh SA và SB lấy điểm M và N sao cho thỏa tỉ lệ $\frac{SM}{AM}=\frac{1}{2}$;$\frac{SN}{NB}=2$. Mặt phẳng (P) đi qua MN và song song với SC chia tứ diện thành hai khối. Một khối chứa điểm S và có thể tích là V₁, khối còn lại có thể tích V₂. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ nhận giá trị thuộc khoảng nào dưới đây.

Một hình vuông ABCD có cạnh AB = x, diện tích S₁. Nối bốn trung điểm A₁, B₁, C₁, D₁ theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai A₁B₁C₁D₁ có diện tích S₂. Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A₂B₂C₂D₂ có diện tích S₃ và cứ tiếp tục như thế ta được diện tích thứ S₄, S₅,…Tìm x để $S_1+S_2+S_3+...+S_{100}=\frac{2^{100}-1}{2^{99}}$

Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây đúng với mọi x thuộc R ?

$$\begin{gathered} 5^{x^2-1}=\frac{1}{5}.5^{x^2} \\ 5x^2={\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2} \\ {5}^{x^2-1}=\frac{{25}^x}{5} \\ {5}^{x^2-1}={\left(5^{x+1}\right)}^{x+1} \\ {5^{\left(\sqrt{x^2-1}\right)}}^2=5^{x^2-1} \end{gathered}$$