Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y =x\sqrt{x^2+1}$, $x = \sqrt{3}$ và hai trục tọa độ. Đường thẳng x = k chia (H) thành hai phần có diện tích S₁, S₂ như hình vẽ bên. Để S₁ = 6S₂ thì $k = k_0$. Hỏi $k_0$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=sinx, $x = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$, hai trục tọa độ. Thể tích V của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox là

Cho hình phẳng (H) giới hạn bới các đường $y = \sqrt{3x+1}$, $y = x - 1$ và $x = 1$. Diện tích S của hình phẳng (H) là

Biết F(x) làm một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 2016.e^{2016}$ và F(0) = 2018. Giá trị của F(1) là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1;3], f(1) = 1 và f(3) = 2018. Giá trị của tích phân $I = {\int }_1^{3}f\text{'}\left(x\right)dx$

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \sin x.\sqrt{2-\cos x}$ là

Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đường cong $y = f\left(x\right)$ và $y = x^2-2x$. Biết ${\int }_{\frac{-1}{2}}^{1}f\left(x\right)dx = \frac{3}{4}$

Khi đó diện tích hình phẳng được tô trên hình vẽ là

Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0, $x = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$, biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một đường tròn có bán kính $R = \sqrt{\cos x}$. Thể tích của vật thể đó là

Biết ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx = a$ và ${\int }_2^{1}g\left(x\right)dx = b$. Khi đó ${\int }_1^2\left[f\right(x) + g(x\left)\right]dx$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2$ và $y = 2 - \left|x\right|$. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo được khi quay H xung quanh trục tung.

Biết hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y=x+3, trục hoành và đường thẳng x=m (m>0) có diện tích bằng 8. Khi đó giá trị m gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Giá trị của tích phân $I = {\int }_1^{3}x.{(1-x)}^{2016}$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số y = xsin2x là

Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) và f(x) xác định trên [a;b]. Khi đó tích phân ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ được tính theo công thức nào sau đây?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=-1, x=2, y=0 và Parabol (P) $y = a{x}^2 + bx + c$ bằng 15. Biết (P) có đỉnh I(1;2) là điểm cực tiểu. Khi đó a+b-c bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{\cos 2x}$, hai trục tọa độ, đường thẳng $x = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^4, y = -x^2$ và x = 1 là

Biết rằng ${\int }_0^m(2x-1)e^{x}dx = 4m - 3$. Khi đó giá trị nào sau đây gần m nhất? (Biết m<1).

Họ nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = \frac{2-{\ln }^2(2x+1)}{2x+1}$

Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f_1\left(x\right)$; $y = f_2\left(x\right)$   (liên tục trên [a;b]) và hai đường thẳng x=a, x=b (a<b). Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây?

Xét hình phẳng (H) được giới hạn bởi hàm số $y = x^2$, đường thẳng $y = k^2$  với $0\le k\le 1$; trục tung và đường thẳng x=1. Biết (H) được chia thành hai phần có diện tích $S_1 S_2$ như hình vẽ. Gọi $k_1 , k_2$ lần lượt là giá trị của k làm cho tổng $S_1 + S_2$ có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tính giá trị của $T = k_1 + k_2$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = -x^2+5x-4$ và trục hoành. Đường thẳng x=2 chia (H) thành hai hình phẳng $\left(H_1\right); \left(H_2\right)$ có diện tích lần lượt là $S_1, S_2$, $S_1<S_2$. Khi đó tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ là

Cho hàm số $f\left(x\right) = a.e^x + b$ có đạo hàm trên đoạn [0;a], f(0) = 3a và ${\int }_0^{a}f\text{'}\left(x\right)dx = e^a-1$. Giá trị của biểu thức $P = a^2+b^2$ là

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1-2x}}$ và F(-4) = 3. Tính $F\left(\frac{-3}{2}\right)$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và ${\int }_1^{4}f\left(x\right)dx = 3$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Giả sử f(x) là hàm liên tục trên R và a, b, c là các số thực khác nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?

Biết ${\int }_0^1\frac{3x-1}{x^2+6x+9}dx = 3\ln \frac{a}{b} - \frac{5}{6}$ trong đó a,b là 2 số nguyên dương và a/b  là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{{(1+\tan x)}^5}{{\cos }^{2}x}dx = \frac{a}{b}$; trong đó a,b là 2 số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tìm hàm số f(x) thỏa mãn $3x^2.f\text{'}\left(x\right) + x^3.f\text{'}\text{'}\left(x\right) = -1$ với $x\ne 0$ và f(1) = 1, f(-2) = -1

Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x\sqrt{\ln x}$, x=e và trục hoành là.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2.e^x$, $y = x.e^x$là

Cho f(x); f(-x) liên tục trên R và thỏa mãn $2f\left(x\right) + 3f(-x) = \frac{1}{x^2+4}$ Tính $I = {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{{\ln }^{2}x}{x}$

Cho ${\int }_0^3\frac{x}{2\sqrt{x+1}+4}dx = \frac{a}{3}+\ln \left(\frac{3^b}{2^c}\right)$ Tính T = a+2b-c

Có bao nhiêu số thực a thuộc $\left(\mathrm{\pi };3\mathrm{\pi }\right)$ thỏa mãn ${\int }_{\mathrm{\pi }}^{\alpha }\cos 2xdx = \frac{1}{4}$

Cho ${\int }_{-2}^{4}f\left(x\right)dx = 2$.Tính $I = {\int }_0^6\frac{1}{2}f(1-x)dx$

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{x^3}{x^4+1}$và F(0) = 1. Tính F(1)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = x^e$