Họ nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = \frac{2-{\ln }^2(2x+1)}{2x+1}$

Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = f_1\left(x\right)$; $y = f_2\left(x\right)$   (liên tục trên [a;b]) và hai đường thẳng x=a, x=b (a<b). Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây?

Xét hình phẳng (H) được giới hạn bởi hàm số $y = x^2$, đường thẳng $y = k^2$  với $0\le k\le 1$; trục tung và đường thẳng x=1. Biết (H) được chia thành hai phần có diện tích $S_1 S_2$ như hình vẽ. Gọi $k_1 , k_2$ lần lượt là giá trị của k làm cho tổng $S_1 + S_2$ có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tính giá trị của $T = k_1 + k_2$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = -x^2+5x-4$ và trục hoành. Đường thẳng x=2 chia (H) thành hai hình phẳng $\left(H_1\right); \left(H_2\right)$ có diện tích lần lượt là $S_1, S_2$, $S_1<S_2$. Khi đó tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ là

Cho hàm số $f\left(x\right) = a.e^x + b$ có đạo hàm trên đoạn [0;a], f(0) = 3a và ${\int }_0^{a}f\text{'}\left(x\right)dx = e^a-1$. Giá trị của biểu thức $P = a^2+b^2$ là

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1-2x}}$ và F(-4) = 3. Tính $F\left(\frac{-3}{2}\right)$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và ${\int }_1^{4}f\left(x\right)dx = 3$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Giả sử f(x) là hàm liên tục trên R và a, b, c là các số thực khác nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?

Biết ${\int }_0^1\frac{3x-1}{x^2+6x+9}dx = 3\ln \frac{a}{b} - \frac{5}{6}$ trong đó a,b là 2 số nguyên dương và a/b  là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{{(1+\tan x)}^5}{{\cos }^{2}x}dx = \frac{a}{b}$; trong đó a,b là 2 số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tìm hàm số f(x) thỏa mãn $3x^2.f\text{'}\left(x\right) + x^3.f\text{'}\text{'}\left(x\right) = -1$ với $x\ne 0$ và f(1) = 1, f(-2) = -1

Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x\sqrt{\ln x}$, x=e và trục hoành là.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2.e^x$, $y = x.e^x$là

Cho f(x); f(-x) liên tục trên R và thỏa mãn $2f\left(x\right) + 3f(-x) = \frac{1}{x^2+4}$ Tính $I = {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{{\ln }^{2}x}{x}$

Cho ${\int }_0^3\frac{x}{2\sqrt{x+1}+4}dx = \frac{a}{3}+\ln \left(\frac{3^b}{2^c}\right)$ Tính T = a+2b-c

Có bao nhiêu số thực a thuộc $\left(\mathrm{\pi };3\mathrm{\pi }\right)$ thỏa mãn ${\int }_{\mathrm{\pi }}^{\alpha }\cos 2xdx = \frac{1}{4}$

Cho ${\int }_{-2}^{4}f\left(x\right)dx = 2$.Tính $I = {\int }_0^6\frac{1}{2}f(1-x)dx$

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{x^3}{x^4+1}$và F(0) = 1. Tính F(1)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = x^e$

Kí hiệu S(t) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x + 1; y = 0; x = 1; x = t Tìm t để S(t) = 10 

Cho ${\int }_1^2\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx = \frac{1}{c}\left(a\sqrt{a}-\frac{b\sqrt{b}}{b+c}\right)$ Tính T=a+b+c

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y = 3^x$, y=0, x=0, x=2. Đường thẳng x=t chia H thành hai phần có diện tích $S_1$ và $S_2$ (như hình vẽ). Tìm t để $S_1 = 3S_2$

Biết ${\int }_1^e\frac{\sqrt{1+3\ln x}\ln x}{x}dx = \frac{a}{b}$; trong đó a,b là 2 số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số $y = \sqrt{4-x^2}$ và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (D) xung quanh trục Ox.

Tìm a để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2+3ax+2a^2$ (a>0) và trục hoành có diện tích bằng 36.

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=tanx; x=0; $x = \frac{\mathrm{\pi }}{3}$ và trục hoành.

Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2+1$; x=-1; x=2 và trục hoành.

Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn ${\int }_1^{e}F\left(x\right)d\left(\ln x\right) = 3$ và F(e)=5 Tính $I = {\int }_1^e\ln x.f\left(x\right)dx$

Cho biết ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx = 6$, ${\int }_1^{5}g\left(x\right)dx = 8$ Tính $K = {\int }_1^5\left[4f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

Tìm giá trị của a để $I = {\int }_1^a\frac{x^3-2\ln x}{x^2}dx = \frac{1}{2}+\ln 2$

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$; y = 0; x = 0; $x = \frac{\mathrm{\pi }}{3}$ Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là.

Tìm $m\in \left(0;\frac{5}{6}\right)$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x^3}{3}+m{x}^2-2x-2m-\frac{1}{3}$; x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4.

Cho hàm f(x) có đạo hàm trên đoạn $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$; ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}f\text{'}\left(x\right)dx = 3\mathrm{\pi }$ và $\mathrm{f}\left(0\right)=\mathrm{\pi }$. Tính $f\left(\mathrm{\pi }\right)$

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 4x^3 - 1$

Cho hàm f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_0^{1}x.f\left(x\right)dx = 5$.  Tính $I = -\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}f\left(\cos 2x\right)d\left(\cos 4x\right)$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = {(\sin x + \cos x)}^2$

Biết ${\int }_1^{\sqrt{2}}2x(x-\sqrt{x^2+1})dx = \frac{a\sqrt{2}+b}{3}$ , $a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ Tính S = a + b.

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\left[0;\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right]$ và thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx = 5$; ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)dx = 2$ . Tính $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx + {\int }_{\mathrm{\pi }}^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$