Tính tích phân $I = {\int }_1^e\frac{{\ln }^{2}x}{x}dx$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 9$ và ${\int }_1^{9}f\left(x\right)dx = 2$. Tính giá trị của biểu thức $I = {\int }_0^1\left[f\left(\frac{x}{3}\right) + f\left(3x\right)\right]dx$

Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như hình vẽ dưới đây

Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình bên thì công thức tính diện tích hình phẳng phần tô đậm trong hình là:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x.e^x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng x=1 thì diện tích hình (H) là:

Có ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx = \frac{\mathrm{\pi }}{a}+\frac{\ln c}{b}$ với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ thì $a^2+b+c$ là:

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = {2018}^x$ là:

Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đường cong $y = x^2+2mx+m^2+1$, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2. Biết $m = m_0$ thì  diện tích hình phẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $m_0$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx = 1$. Tích phân $I = {\int }_{\ln x}^{\ln b}{e}^x.f\left(e^x\right)$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho tích phân $I = {\int }_0^1\frac{dx}{1 + \sqrt{3x+1}}$. Biết kết quả $I = a + b\ln 2 + c\ln 3$ với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ . Khi đó a-b+c bằng bao nhiêu?

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{\sin }^{2}x}$ và đồ thị y = F(x) đi qua điểm $M\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6};0\right)$ thì F(x) là

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Biết ${\int }_3^4\frac{dx}{(x+1)(x-2)} = a\ln 2 + b\ln 5 +c$, với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính S = a - 3b + c

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn có bán kính R=2, đường cong $y = \sqrt{4-x}$ và trục hoành ( miền tô đậm như hình vẽ).

Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.

Cho hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}x+1 khi x\ge 0\\ e^{2x} khi x\le 0\end{array}\right.$. Tích phân $I = {\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x

Cho Parapol (P): $y = x^2+1$ và đường thẳng (d): $y = mx+2$. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y =x\sqrt{x^2+1}$, $x = \sqrt{3}$ và hai trục tọa độ. Đường thẳng x = k chia (H) thành hai phần có diện tích S₁, S₂ như hình vẽ bên. Để S₁ = 6S₂ thì $k = k_0$. Hỏi $k_0$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=sinx, $x = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$, hai trục tọa độ. Thể tích V của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox là

Cho hình phẳng (H) giới hạn bới các đường $y = \sqrt{3x+1}$, $y = x - 1$ và $x = 1$. Diện tích S của hình phẳng (H) là

Biết F(x) làm một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 2016.e^{2016}$ và F(0) = 2018. Giá trị của F(1) là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1;3], f(1) = 1 và f(3) = 2018. Giá trị của tích phân $I = {\int }_1^{3}f\text{'}\left(x\right)dx$

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \sin x.\sqrt{2-\cos x}$ là

Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đường cong $y = f\left(x\right)$ và $y = x^2-2x$. Biết ${\int }_{\frac{-1}{2}}^{1}f\left(x\right)dx = \frac{3}{4}$

Khi đó diện tích hình phẳng được tô trên hình vẽ là

Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0, $x = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$, biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một đường tròn có bán kính $R = \sqrt{\cos x}$. Thể tích của vật thể đó là

Biết ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx = a$ và ${\int }_2^{1}g\left(x\right)dx = b$. Khi đó ${\int }_1^2\left[f\right(x) + g(x\left)\right]dx$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2$ và $y = 2 - \left|x\right|$. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo được khi quay H xung quanh trục tung.

Biết hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y=x+3, trục hoành và đường thẳng x=m (m>0) có diện tích bằng 8. Khi đó giá trị m gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

Giá trị của tích phân $I = {\int }_1^{3}x.{(1-x)}^{2016}$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số y = xsin2x là

Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) và f(x) xác định trên [a;b]. Khi đó tích phân ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ được tính theo công thức nào sau đây?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=-1, x=2, y=0 và Parabol (P) $y = a{x}^2 + bx + c$ bằng 15. Biết (P) có đỉnh I(1;2) là điểm cực tiểu. Khi đó a+b-c bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{\cos 2x}$, hai trục tọa độ, đường thẳng $x = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^4, y = -x^2$ và x = 1 là

Biết rằng ${\int }_0^m(2x-1)e^{x}dx = 4m - 3$. Khi đó giá trị nào sau đây gần m nhất? (Biết m<1).