Cho hàm số f(x) có f'(x) và f"(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Biết f'(2)=4 và f'(-1)= -2. Tính ${\int }_{-1}^{2}f"\left(x\right)dx$

Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn [1;3] thoả: ${\int }_1^3\left[f\left(x\right)+3g\left(x\right)\right]dx=10, {\int }_1^3\left[2f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=6$. Tính ${\int }_{}^3\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx.$

Để đảm bảo an toàn khi khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m. Ô tô A đang chạy với vận tốc 16m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ phía trước nên ô tô A đạp phanh (đạp thắng) và chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)= 16 - 4t(m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu đạp phanh. Hỏi để hai ô tô A và B khi dừng lại đạt khoảng cách an toàn thì ô tô A phải đạp phanh khi cách ô tô B một khoảng tối thiểu là bao nhiêu mét?

Một khu vườn dạng hình tròn có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau, AB=12m . Người ta làm một hồ cá có dạng elip với bốn đỉnh  như hình vẽ. Biết MN=10m, M'N'=8m, PQ=8m. Diện tích phần trồng cỏ (phần gạch sọc) bằng

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần A, B lần lượt bằng 12 và 2. Giá trị của $I={\int }_{-1}^{\raisebox{1ex}{$-2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.}f(5x+3)dx$ bằng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có một nguyên hàm là hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2-x+1.$ Giá trị của biểu thức ${\int }_1^{2}f\left(x^2\right)dx$ bằng

Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện trước ngại vật nên người lái xe đạp phanh gấp. Kể từ điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc $-a(m/s^2)$, a>0  . Biết ô tô chuyển động được 20m nửa thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây ?

Trong một chuyển động thẳng, một ô tô đang chạy với vận tốc 15 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 15 (m/s) trong đó   là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Cho ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=-2$ và ${\int }_0^{2}g\left(x\right)dx=7$, khi đó ${\int }_0^2\left[2f\right(x)-g(x\left)\right]dx$ bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và F(x) là nguyên hàm của f(x),  biết ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx=9$, F(0)=3. Tính F(9).

Cho ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=2$ và ${\int }_0^{1}g\left(x\right)dx=5$, khi đó ${\int }_0^1\left[f\right(x)-2g(x\left)\right]dx$ bằng:

Cho ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=4$ và ${\int }_2^{0}g\left(x\right)dx=1$, khi đó ${\int }_0^2\left[f\right(x)+2g(x\left)\right]dx$ bằng:

Cho ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=2$ và ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=3.$ Khi đó ${\int }_0^{2}2f\left(x\right)dx$ bằng:

Cho ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=3$ và ${\int }_0^{2}g\left(x\right)dx=-2$, khi đó ${\int }_0^2\left[2f\right(x)-g(x\left)\right]dx$ bằng:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2{e}^{x^3+1}$.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(1)=1 và ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}$. Tính tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin 2x.f\text{'}(\sin x)dx$.

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] và 2F(a)-1=2F(b). Tính $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và thỏa mãn 

f(4 - x) = f(x) . Biết ${\int }_1^{3}xf\left(x\right)dx=5$. Tính${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=5$

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\frac{1}{4}{x}^2+1$ với ($0\le x\le 2\sqrt{2}$) nửa đường tròn $y=\sqrt{8-x^2}$ và trục hoành, trục tung (phần tô đậm trong hình  vẽ). Diện tích của (H) bằng:

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $3x-x^2$ và trục hoành, quanh trục hoành.

Cho ${\int }_{}^{}\frac{dx}{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 7(a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Q}})$. Tính giá trị S = a + 4b - c

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức là:

Một chiếc xe đua đang chạy 180 km/h. Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc $a\left(t\right)=2t+1(m/s^2)$. Hỏi rằng sau 5 s sau khi nhấn ga thì xe chạy với vận tốc bao nhiêu km/h? 

$f\left(2\right)=-\frac{1}{5}$Cho hàm số f(x)  thỏa mãn  và $f\text{'}\left(x\right)=x^3{\left[f\left(x\right)\right]}^2$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$. Giá trị của f(1) bằng:

Nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1+\ln x}{x\ln x}$ là

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d và nửa đường tròn $y=\sqrt{2-x^2}$ biết d đi qua $A\left(-\sqrt{2};0\right)$ và B(1;1) trênnửa đường tròn (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện  tích của   bằng: 

Biết ${\int }_0^1\frac{2x^2+3x+3}{x^2+2x+1}dx=a-\ln b$với a, b là các số nguyên dương. Tính $P=a^2+b^2$.

Cho hàm số y = f(x)  thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin x.f\left(x\right)dx=f\left(0\right)=1$. Tính $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos x.f\text{'}\left(x\right)dx$

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2+8\sin x.$

Gọi ${\int }_{\frac{1}{3}}^1\frac{x-5}{2x+2}dx=a+\ln b$ với a, b là số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho ${\int }_2^{5}f\left(x\right)dx=10.$ Kết quả ${\int }_5^2\left[2-4f\left(x\right)dx\right]$ bằng: 

Biết kết quả tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}x\cos 2xdx=a+b\mathrm{\pi }$ với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị H = a + b bằng bao nhiêu?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1;2] có f(2) = b và ${\int }_1^2(x-1)f\text{'}\left(x\right)dx=a$. Tính $I={\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$ theo a và b.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-x+1}{x-1}$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn $3f\text{'}\left(x\right).e^{f^3\left(x\right)-x^2-1}-\frac{2x}{f^2\left(x\right)}=0$ và f(0)=1 . Tích phân ${\int }_0^{\sqrt{7}}x.f\left(x\right)dx$ bằng:

Biết $I={\int }_1^2\frac{dx}{\left(x+2\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+2}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c$ với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị T = a+b+c bằng bao nhiêu?

Tích phân $I={\int }_0^{100}x{e}^{2x}dx$ bằng:

Tìm nguyên hàm $\int \left(x-1\right)\sin 2xdx.$

Hàm số $F\left(x\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin 4x+C$ là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Cho hàm số $y=e^x\left(x^2+mx\right)$. Biết y'(0)=1. Tính y'(1)