Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60º . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Biết rằng trong tất cả các cặp (x; y) thỏa mãn: ${\log }_2 \left(x^2+y^2+2\right) \le {\log }_2 \left(x+y-1\right)$. Chỉ có duy nhất một cặp (x; y) thỏa mãn: 3x + 4y - m = 0 . Khi đó hãy tính tổng tất cả các giá trị m tìm được?

Tìm m để phương trình $4^{x^2} - 2^{x^2+2} + 6 = m$ có đúng 3 nghiệm.

Với a, b là các số thực dương bất kỳ, a khác 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hệ phương trình nào sau đây có duy nhất một nghiệm?

Tổng các nghiệm của phương trình ${{\log }_2}^2 x - {\log }_2 9 . {\log }_3 x = 3$ là:

Bất phương trình $2^{x^2-3x+4}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-10}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

Tìm tập hợp S của bất phướng trình $5^{1-2x} > \frac{1}{125}$

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn ${\log }_2 \frac{\sin x + 2}{\cos x + 2} = 2\cos x - \sin x + 3$. Gọi $-\frac{a}{b}$với $a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, $\frac{a}{b}$ tối giản là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3{\cos }^{3}x + \sin 2x - 5\cos x$ Tính T = a +b

Cho x>0; y>0 thỏa mãn $\ln \left(x{y}^2\right) = 8$, $\ln \frac{x}{y} = -1$ Tính P = ln(xy)

Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn $\sqrt[n]{\sqrt[3]{3}} = 3^{\frac{1}{12}}$.Tìm giá trị của n.

Cho các số thực x,y dương thỏa mãn ${\log }_2 {\left(x+2y\right)}^2 = {\log }_{\sqrt{2}} x + 4{\log }_4 y$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x^2}{1+4y} +\frac{y^2}{2x+1}$

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin 2x + cosx. Giá trị $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-F\left(0\right)$ bằng

Với các số thực a,b lớn hơn 1 thỏa mãn $4a^2 + 9b^2 = 13ab$. Giá trị biểu thức $P = \frac{2 + {\log }_5 a + {\log }_5 b }{{\log }_{25} (2a + 3b)}$ bằng

Tập xác định của hàm số $y = \ln \left(4^x - 2^{x+1} - 8\right)$ là

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: $2{\log }_2 a - {\log }_2 b \le {\log }_2 \left(a+6b\right)$. Tìm giá trị lớn nhất $P_{max}$ của biểu thức $P = \frac{ab - b^2}{a^2 - ab + 2b^2}$

Cho hàm số $y = f\left(x\right) = {\log }_{0,5} \left(x-1\right) + m^2 + m$ (m là tham số). Biết rằng có hai giá trị $m_1$ ;$m_2$để gía trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn $\left[\frac{33}{32}; \frac{1025}{1024}\right]$ bằng 13. Tính $T = ({m_1}^2-m_1)\left({m_2}^2-m_2\right)$

Biết phương trình ${\log }_3 \left(3^x-1\right) \left[1 + {\log }_3 \left(3^x-1\right)\right]=6$ có hai nghiệm là $x_1 < x_2$ và tỉ số $\frac{x_1}{x_2} = \log \frac{a}{b}$trong đó $a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}$ và a,b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a + b

Số nghiệm thực của phương trình $2^{\sqrt{x}} = 2^{2-x}$ là:

Cho a là số thực dương thỏa mãn $a\ne 10$, mệnh đề nào dưới đây sai?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $4^x + 2^x + 4 = 3^m\left(2^x + 1\right)$ có hai nghiệm phân biệt

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của $f\left(x\right) = \frac{\ln (x+3)}{x^2}$ sao cho F(-2)+F(1)=0. Giá trị của F(-1)+F(2) bằng

Cho ${\log }_a c = x > 0$ và ${\log }_b c = y > 0$. Khi đó giá trị của ${\log }_{ab} c$là

Phương trình $\ln \left(x-\frac{1}{2}\right).\ln \left(x+\frac{1}{2}\right).\ln \left(x+\frac{1}{4}\right).\ln \left(x+\frac{1}{8}\right)$ có bao nhiêu nghiệm?

Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\log \left(mx\right) = 2\log \left(x+1\right)$ có nghiệm là 

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_2 \left(3.2^x - 1\right) = 2x + 1$ bằng

Với $a = {\log }_2 5$, $b = {\log }_3 5$ giá trị của ${\log }_6 5$ bằng

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_2}^2 x - 8{\log }_2 \sqrt{x} + 3 <0$

Biết phương trình ${27}^{\frac{x-1}{x}}.2^x = 72$ có một nghiệm viết dưới dạng $x = - {\log }_a b$, với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 8. Khi đó tính tổng $S = a^2 + b^2$

Đường con trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đã cho ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $9^x - 3^{x+2} + 2 = m$ có 2 nghiệm thực phân biệt?

Phương trình ${\log }_5 \left(x+5\right) = 2$ có nghiệm là

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\log }_2 \left(x^2 + 5x - 6\right)$

Cho ${\log }_a b = 2$ và ${\log }_a c = 3$. Giá trị của biểu thức $P = {\log }_a \left(\frac{b^2}{c^3}\right)$ bằng

Xét các số thực x, y thỏa mãn $x^2 + y^2 > 1$ và ${\log }_{x^2+y^2 } (2x+3y) \ge 1$. Giá trị lớn nhất $P_{max}$ của biểu thức $P = 2x + y$ bằng

Cho phương trình $3^{2x+5} = 3^{x+2} + 2$. Khi đặt $t = 3^{x+1}$, phương trình đã cho trở thành phương trình nào trong các phương trình dưới đây

Cho hai số thức dương a, b và a ¹ 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tìm số nghiệm thực của phương trình ${{\log }_2}^2 x^2 - {\log }_4 \left(4x^2\right) - 5 = 0$

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\log }_3 \frac{x+1}{x-3}$

Tìm m để phương trình $4^x - 2m.2^x - 2m + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt