Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, $A{A}^{\text{'}}=a\sqrt{2}$  . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BB' và CC'. Mặt phẳng (A'MN) cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại H và K.

a) Chứng minh rằng MN // HK.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA ^ (ABCD) và $SA=\text{a}\sqrt{2}$ . Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh AE ^ (SBC).

b) Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và thể tích khối tứ diện OABC.

Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=60°$   và $\widehat{BOC}=90°$  .

a) Chứng minh rằng (OBC) ^ (ABC).

c) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0.

d) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0.

Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t³ – 3t² – 9t + 2, ở đó thời gian t > 0 tính bằng giây và quãng đường s tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 giây.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

d) y = e^2x + lnx².

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) $y=\tan \frac{x}{2}-\cot \frac{x}{2}$  ;    

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) $y=\sqrt{1+2x-x^2}$ ;

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=3x^2-2\sqrt{x}$  ;    

c) Xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng 4,5.

b) Độ pH sẽ biến đổi như thế nào nếu nồng độ ion hydrogen giảm?

Để xác định tính acid và tính base của các dung dịch, người ta sử dụng khái niệm độ pH. Độ pH của một dung dịch được cho bởi công thức pH = −log[H⁺], trong đó [H⁺] là nồng độ của ion hydrogen (tính bằng mol/lít).

a) Tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mol/lít.

Giải các phương trình và bất phương trình sau

f) log (3x² + 1) > log (4x).

Giải các phương trình và bất phương trình sau

e) ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x\le {\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x+2}$ ; 

Giải các phương trình và bất phương trình sau

b) $2^{x^2-3x}=4$  ;  

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) $3^{\frac{1}{x}}=4$ ;

Tìm các giá trị của tham số m để:

b) Hàm số $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x+m& \text{ khi }x\le 1\\ \frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}& \text{ khi }x>1\end{array}\right.$   liên tục trên ℝ.

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+4x+3}{x+1}& \text{ khi }x\ne -1\\ m^2& \text{ khi }x=-1\end{array}\right.$  liên tục tại điểm x = −1;

Tính các giới hạn sau:

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+x+1}+2x\right)$ .

Tính các giới hạn sau:

c) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2+3x-2}{x^2-4}$  ;                                     

Tính các giới hạn sau:

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdots +\frac{2^n}{3^n}\right)$ ;

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\cdots +\left(2n-1\right)}{n^2+2n+3}$ ;                     

c) Sau bao nhiêu năm thì lương hằng năm theo hợp đồng B vượt lương hằng năm theo hợp đồng A?

b) Tính v₂, v₃ và v_n theo n. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?

Một công ty đề xuất kí hợp đồng với một người lao động theo một trong hai loại hợp đồng sau:

Hợp đồng A: Lương 200 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 10 triệu đồng.

Hợp đồng B: Lương 180 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 5%.

Kí hiệu u_n, v_n tương ứng là lương nhận được (triệu đồng) của năm thứ n ứng với các hợp đồng A và B.

a) Tính u₂, u₃ và u_n theo n. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?

Cho cấp số nhân (u_n) biết rằng ba số u₁, u₄ và u₇ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai d ≠ 0. Hãy tìm công bội q của cấp số nhân đó.

Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún cây đu sẽ đưa người chơi dao động qua lại quanh vị trí cân bằng. Giả sử khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được tính theo thời gian t (t ³ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = |d| với $d=3\text{cos}\left[\frac{\pi }{3}\left(2t-1\right)\right]$ , trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại.

a) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

Rút gọn các biểu thức sau:

c) $C=2\left({\text{cos}}^{4}x-{\text{sin}}^{4}x\right)\text{sin}2x$  .

Rút gọn các biểu thức sau:

b) $B=\frac{\text{sin}4x}{1+\text{cos}4x}\cdot \frac{\text{cos}2x}{1+\text{cos}2x}-\text{cot}\left(\frac{3\pi }{2}-x\right)$ ;

Rút gọn các biểu thức sau:

a) ;$A=\frac{1-2{\text{sin}}^{2}x}{1+\text{sin}2x}-\frac{1-\text{tan}x}{1+\text{tan}x}$

Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi độc lập với nhau. Xác suất để An và Bình giành giải thưởng tương ứng là 0,8 và 0,6. Xác suất để có ít nhất một bạn giành giải thưởng là

Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi người gieo một con xúc xắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc của Sơn và Tùng lớn hơn 1 là

Vận động viên Tùng thi bắn súng. Biết rằng xác suất để Tùng bắn trúng vòng 10 là 0,2. Mỗi vận động viên được bắn hai lần và hai lần bắn là độc lập. Vận động viên đạt huy chương vàng nếu cả hai lần bắn trúng vòng 10. Xác suất để vận động viên Tùng đạt huy chương vàng là

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các công nhân tại một doanh nghiệp lớn:

Nhóm chứa mốt là

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các công nhân tại một doanh nghiệp lớn:

Nhóm chứa trung vị là

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{3}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 1; AA' = 2. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và cạnh AD. Thể tích khối chóp B.CMND bằng