a) Biết ${\log _x}y = 2$. Tính giá trị của ${\log _{{x^2}y}}\frac{{{x^4}}}{{y\sqrt y }}$.

b) Tìm $m$ nguyên để hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{3}{2}}}\] xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 9, chiều cao bằng 2 là

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao bằng $2a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có \[AB = SA = 2a\]. Khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng

Hình chóp đều $S.ABC.$ Khoảng cách từ $S$ đến $\left( {ABC} \right)$ là

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là

Trong không gian cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$, mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ ?

Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$. Góc giữa $SA$ với $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Đường thẳng $AC'$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,\,OB,\,OC$ đôi một vuông góc với nhau                                                                                     Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Qua điểm \[O\] cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta $ cho trước?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD,\,\,SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $AA'$ là góc nào sau đây?

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Tập nghiệm của bất phương trình \[{2^{x\, - \,3}}\, > \,8\] là

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)$.

Nghiệm của phương trình ${\log _2}x = 3$ là

Nghiệm của phương trình ${3^x} = 9$ là

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Tập xác định của hàm số \[y = {6^x}\] là

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit?

Với mọi $a$, $b$, $x$ là các số thực dương thoả mãn ${\log }_{2}x=5{\log }_{2}a+3{\log }_{2}b$

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho \[a > 0\], \[a \ne 1\]. Biểu thức \[{a^{{{\log }_a}{a^2}}}\] bằng

Cho $a,\,\,b > 0$ và $a \ne 1$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

${\log _3}\frac{1}{{27}}$ bằng

Rút gọn biểu thức $P = \sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^{18}}} }}\left( {a > 0,b > 0} \right)$ thu được kết quả là

Tính giá trị của ${2^{3 - \sqrt 2 }} \cdot {4^{\sqrt 2 }}$ bằng

Cho \[x,y\] là hai số thực dương khác \[1\] và \[n,m\] là hai số thực tùy ý.

Đẳng thức nào sau đây sai?

Cho $a$ là số thực dương, $m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n \geqslant 2.$ Khẳng định nào sau đây sai?

(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \[AB = a\], \(AD = \) \(2a\sqrt 2 \), hình chiếu vuông góc của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Đường thẳng \[SA\] tạo với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] một góc bằng\[45^\circ \]. Tính theo \[a\] khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[SD\].

(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), \[SA\] vuông góc với mặt đáy, \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \[I,K\] là trung điểm của \(BC\) và \(CD\).

a) Chứng minh \[IK \bot \left( {SAC} \right)\].

b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right).\]

III. Lời giải chi tiết tự luận

(1,0 điểm)

a) Giải phương trình \({4^x} - {2^{x + 2}} + 3 = 0\).

b) Biết phương trình \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x\) có hai nghiệm thực \({x_1},\,\,{x_2}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1} + {x_2} + {x_1} \cdot {x_2}\).