Phép tịnh tiến biến \({T_{\overrightarrow u }}\) biến M thành M', N thành N' (H.1.7).

a) Có nhận xét gì về \[\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'M} \] và \(\overrightarrow {M'N} + \overrightarrow {NN'} \).

b) Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ và . \(\overrightarrow {MN} \)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(x + 1; y + 2).

a) Xét các điểm A(– 1; 5), B(2; 2), C(4; 0) thuộc ∆: x + y – 4 = 0. Xác định các ảnh của chúng qua f.

b) Chứng minh rằng nếu M(x₀; y₀) là điểm thuộc đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0 thì ảnh M'(x₀ + 1; y₀ + 2) của nó thuộc đường thẳng ∆': x+ y – 7 = 0.  

Hoa và Hưng cùng chơi trò chơi sau: Hai bạn luân phiên nhau đặt các đồng xu có cùng kích thước lên trên một mặt mảnh giấy hình chữ nhật sao cho các xu nằm hoàn toàn trên mảnh giấy và xu đặt sau không chồng lên xu trước. Mỗi bạn, đến lượt mình được đặt một xu. Ai là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu là người thua cuộc.

Trong một lần chơi, là người đặt xu trước, Hoa đặt đồng xu đầu tiên tại vị trí O ở chính giữa mảnh giấy, và sau đó, ở mỗi lượt đặt xu, nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí M thì Hoa đặt ở vị trí M' đối xứng với M qua O. Hỏi trong lần chơi nói trên, ai là người thắng cuộc?

Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

a) \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\);

b) \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\).

Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là

\(F\left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,r < R\\\frac{{GM}}{{{r^2}}}\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,r \ge R,\end{array} \right.\)

trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).

Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x = 0\end{array} \right.\) tại điểm x = 0;

b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + x\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\2 - x\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\) tại điểm x = 1.

Tính các giới hạn một bên:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }}\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} - 3}}{{x - 7}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}\).

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.

a) 1,(01);

b) 5,(132).

Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);

b) \({v_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} \);

c) \[{{\rm{w}}_n} = \frac{{\sin \,n}}{{4n}}\].

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,x = 1\end{array} \right..\) Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi

A. a = 0.

B. a = 3.

C. a = – 1.

D. a = 1.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\). Hàm số f(x) liên tục trên

A. (–∞; +∞).

B. (–∞; – 1].

C. (–∞; – 1) ∪ (– 1; +∞).

D. [– 1; +∞).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\) bằng

A. 0.

B. 1.

C. +∞.

D. – 1.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} \). Mệnh đề đúng là

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \).

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0\).

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1\).

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Tổng của cấp số nhân này bằng

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 6.

Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số (u_n) bằng

A. 1.

B. 2.

C. – 1.

D. 0.

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là

A. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \).

B. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\).

C. \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \].

D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\).

Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

 a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Tìm giá trị của tham số m để hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin \,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 0\\ - x + m\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 0\end{array} \right.\)

liên tục trên ℝ.

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}\);

b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + {x^2}\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\4 - x\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\).

Cho hai hàm số f(x) = x² và g(x) = – x + 1.

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1.

b) Tính \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) và so sánh L với f(1) + g(1).

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) và \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,n\^e 'u\,\,0 \le x \le \frac{1}{2}\\1\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\frac{1}{2} < x \le 1\end{array} \right.\) với đồ thị tương ứng như Hình 5.7.

Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm \(x = \frac{1}{2}\) và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\,\,x \ne 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,\,\,x = 1.\end{array} \right.\)

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với f(1).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\).