Trong hai bức tranh ở Hình 1.41, các hình chữ nhật ABCD, A'B'C'D' có các cạnh tương ứng song song, bức tranh lớn có kích thước gấp đôi bức tranh nhỏ.

a) Giải thích vì sao các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

b) Hãy tính các tỉ số \(\frac{{OA}}{{OA'}},\,\frac{{OB}}{{OB'}},\,\frac{{OC}}{{OC'}},\,\frac{{OD}}{{OD'}}\).

c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng nào đó trên hai bức tranh (chẳng hạn, đầu mỏ trên của chú gà ở hai bức tranh). Đường thẳng đó có đi qua O hay không?

Hình 1.38 được vẽ dựa theo bức tranh Kị binh (horsmen) của Escher, gồm các hình bằng nhau mô tả các kị binh trên ngựa.

Bằng quan sát, hãy chỉ ra những khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Có phép tịnh tiến biến mỗi chiến binh thành một chiến binh cùng màu.

b) Có phép đối xứng trục biến mỗi chiến binh thành một chiến binh khác màu.

c) Có phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến biến mỗi kị binh thành một kị binh khác màu.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ \(\overrightarrow u = \left( {0;\,1} \right)\). Những khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

a) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(– x; y).

b) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) biến điểm M'(– x; y) thành điểm M''(– x; y + 1).

c) Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình Đ_Oy­ và \({T_{\overrightarrow u }}\) (Đ_Oy trước, \({T_{\overrightarrow u }}\) sau) ta được phép dời hình biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M''(– x; y + 1).

d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình Đ_Oy và \({T_{\overrightarrow u }}\) biến điểm A(1; 2) thành điểm A''(– 1; 1).

Trong tình huống mở đầu, bằng quan sát (H.1.33), hãy chỉ ra phép dời hình:

a) Biến Hình a) thành Hình b).

b) Biến Hình b) thành Hình c).

c) Biến Hình a) thành Hình c).

d) Biến Hình c) thành Hình a).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ở Hình 1.34, gọi f là phép biến hình biến mỗi điểm có tọa độ (x; y) thành điểm có tọa độ (– x; y + 3). Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào đúng.

a) f biến ∆ABC thành ∆DEF.

b) f biến ∆DEF thành ∆MNP.

c) f biến ∆ABC thành ∆MNP.

Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất nào trong các tính chất sau?

a) Biến một vectơ thành vectơ bằng nó.

b) Biến một đường tròn thành một đường tròn cùng tâm.

c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

d) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)² + y² = 1.

a) Tìm tọa độ tâm đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua \({Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}\).

b) Viết phương trình (C').

Cho hình bình hành ABCD với tâm O.

a) Tìm ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.

Cho hình vuông ABCD có tâm O. Trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông, theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ), thứ tự các đỉnh hình vuông là A, B, C, D.

a) Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).

b) Mỗi phép quay Q_{(O, o)}, \({Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}},\,{Q_{\left( {O,\,\pi } \right)}},\,{Q_{\left( {O,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)}}\) biến hình vuông ABCD thành hình nào?

Quan sát Hình 1.30, những phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?

a) Hình vẽ nhận điểm O (được tô đỏ) làm tâm đối xứng.

b) Một đường thẳng bất kì đi qua điểm O sẽ chia hình vẽ thành hai nửa ? và ℬ giống nhau. Nếu thực hiện phép quay tâm O, góc quay 180° thì nửa ? biến thành nửa ℬ, tức là, ℬ là ảnh của ? qua một phép đối xứng tâm O.

c) Có thể chia hình vẽ thành bốn phần giống nhau.

Trong tình huống mở đầu, mặt bàn tròn đặt đồ ăn được thiết kế để có thể quay quanh tâm mặt bàn. Coi mặt bàn tròn là hình tròn tâm O, bán kính R. Hỏi, khi thuwjc hiện phép quay tâm O với góc quay α bất kì thì:

- Điểm O biến thành điểm nào?

- Đường tròn (O, R) biến thành đường tròn nào?

- Vị trí của mặt bàn có bị dịch chuyển hay không?

Trong Hình 1.22, tam giác ABC đều.

Hãy chỉ ra ảnh của điểm B qua phép quay Q_{(A, 60°)}.

Gọi D là ảnh của C qua phép quay Q_{(A, 60°)}.

Hỏi B và D có mối quan hệ gì đối với đường thẳng AC?

Bàn ăn tròn đông người thường được thiết kế sao cho mặt trong nơi đặt đồ ăn có thể quay quanh tâm của nó. Nhờ đó, đồ ăn trên bàn có thể đi tới được gần từng người, mà vị trí đặt mặt bàn không bị dịch chuyển. Cơ sở toán học nào cho phép thực hiện điều đó?

Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ là (x₁; y₁), N có tọa độ là (x₂; y₂).

a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.

b) Tính MN², M'N'² theo tọa độ của các điểm tương ứng.

c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N'.

Xét mặt phẳng tọa độ Oxy (H.1.15). Trong các khẳng định sau, chọn các khẳng định đúng.

a) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có tọa độ (x; – y).

b) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có tọa độ (– x; y).

c) Phép đối xứng trục Ox biến A(1; 2) thành điểm A'(– 1; – 2).

Cầu Ponte Sisto in hình dưới dòng sông Tiber, tạo nên một hình ảnh có tính đối xứng trục.

a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.

b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới sông? Mỗi hình đó là ảnh dưới sông của bóng điện nào trên cầu?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 25 và vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;\,4} \right)\).

a) Xác định ảnh của tâm đường tròn (C) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\).

b) Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua \({T_{\overrightarrow u }}\).