Cho dãy số (u_n) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\).

Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.

Cho dãy số (u_n) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\).

Chứng minh rằng u_{n + 6} = u_n với mọi n ≥ 1.

Cho dãy số (u_n) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\).

Viết sáu số hạng đầu của dãy số.

Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + ...... + 100...01 (12 số hạng) bằng:

A. \(\frac{{{{10}^{11}} + 107}}{9}\).

B. \(\frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}\).

C. \(\frac{{{{10}^{12}} + 107}}{9}\).

D. \(\frac{{{{10}^{11}} + 98}}{9}\).

Cho cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm và u₂ = 6, u₄ = 24. Tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là:

A. 3(1 – 2¹⁰).

B. 3(2⁹ – 1).

C. 3(2¹⁰ – 1).

D. 3(1 – 2⁹).

Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}}\).

B. \({u_n} = 1 + \frac{1}{{5n}}\).

C. \({u_n} = \frac{1}{{{5^n}}} + 1\).

D. \({u_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\).

Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:

A. 1 320.

B. 660.

C. 630.

D. 1 260.

Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:

A. \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\).

B. \({u_n} = \frac{3}{n}\).

C. u_n = 2ⁿ.

D. u_n = (– 2)ⁿ.

Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2, \({u_n} = \frac{1}{3}\left( {{u_{n - \,1}} + 1} \right)\) với n ≥ 2. Số hạng u₄ bằng:

A. u₄ = 1.

B. \({u_4} = \frac{2}{3}\).

C. \({u_4} = \frac{{14}}{{27}}\).

D. \({u_4} = \frac{5}{9}\).

Cho dãy số (u_n) biết u_n = 5ⁿ – n. Số hạng u_{n + 1} là:

A. 5^{n + 1} – n – 1.

B. 5^{n + 1} – n + 1.

C. 5ⁿ – n + 1.

D. 5ⁿ – n – 1.

Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi u_n là số dân của tỉnh đó sau n năm. Giải sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, \({u_3} = \frac{{27}}{4}\).

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = – 5, công bội q = 2.

a) Tìm u_n;

b) Số – 320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Chứng minh mỗi dãy số (u_n) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) \({u_n} = - \frac{3}{4}{.2^n}\);

b) \({u_n} = \frac{5}{{{3^n}}}\);

c) u_n = ( – 0,75)ⁿ.

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) 5;  – 0,5; 0,05; – 0,005; 0,0005;

b) – 9; 3; – 1; \(\frac{1}{3}; - \frac{1}{9}\);

c) 2; 8; 32; 64; 256.

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12;

b) \(\frac{1}{{10}},\frac{1}{{100}},\frac{1}{{1\,\,000}},...\) với n = 5.

Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁, công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n = u₁ + u₁q + u₁q² + ... + u₁q^n-1.

a) Tính S_n.q và S_n – S_n.q.

b) Từ đó, hãy tìm công thức tính S_n theo u₁ và q.

Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁, công bội q.

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo u₁ và q.

b) Dự đoán công thức tính u_n theo u₁ và q.

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = – 6, u₂ = – 2.

a) Tìm công bội q.

b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần.

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)

Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E. coli.

Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E.coli sau 180 phút?

Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10%. Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).

Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ^*.

Tính tổng S = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u₁₀.

Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ^*.

Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).

Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ^*.

Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = – 1, q = 3.

Tính tổng \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} + \frac{1}{{{u_5}}}\).

Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = – 1, q = 3.

Giả sử tổng m số hạng đầu của (u_n) bằng – 364. Tìm m.

Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = – 1, q = 3.

Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Cho (u_n) là cấp số nhân có u₁ + u₅ = 51 và u₂ + u₆ = 102.

Số 9 216 có là số hạng nào của cấp số nhân trên không?

Cho (u_n) là cấp số nhân có u₁ + u₅ = 51 và u₂ + u₆ = 102.

Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?

Cho (u_n) là cấp số nhân có u₁ + u₅ = 51 và u₂ + u₆ = 102.

Tính u₁₀.

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 351.\end{array} \right.\)

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_6} = 244\\{u_2}.{u_5} = 243;\end{array} \right.\)

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 16\\{u_2} + {u_4} = 40;\end{array} \right.\)