Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{76}=1$ (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Cho parabol (P): y = 1/4x². Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Cho hypebol (H): $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.26). Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

$\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$. (3)

Giả sử thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343 m/s.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁, F₂.

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁ – MF₂ = 686 (m) hay không?

Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.21). 

a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂.

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

$\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2} + \sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$.             (1)

Chú ý. Người ta có thể biến đổi (1) về dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với $b=\sqrt{a^2-c^2}$.

A. Các câu hỏi trong bài

Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁, F₂ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18).

a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F₁, F₂ có thay đổi không? Vì sao?

Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost°).

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7;

b) Có tâm I(1; – 2) và đi qua điểm A(– 2; 2);

c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5);

d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

B. Bài tập

Tìm tâm và bán kính của đường tròn (x + 3)² + (y – 3)² = 36.

Cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25 và điểm M(4; – 2).

a) Chứng minh điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).

b) Xác định tâm và bán kính của (C).

c) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ (H.7.16). Từ đó, viết phương trình đường thẳng ∆.

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² – y² – 2x + 4y – 1 = 0;

b) x² + y² – 2x + 4y + 6 = 0;

c) x² + y² + 6x – 4y + 2 = 0.

A. Các câu hỏi trong bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 và ∆₂: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0;

b) d₁: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và d₂: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\)                 (t, s là các tham số).

B. Bài tập

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\) và ∆₂: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0.

b) d₁: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 và d₂: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0.

c) m₁: x – 2y + 1 = 0 và m₂: 3x + y – 2 = 0.