Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷. Hãy tính:

a) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇;

b) a₀ + a₂ + a₄ + a₆.

Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Biết rằng hệ số của x² trong khai triển của (1 + 3x)ⁿ là 90. Tìm giá trị của n.

Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)⁶, hệ số của x4 gấp bốn lần hệ số của x². Tìm giá trị của a.

Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển của biểu thức (2 – x)¹².

Khai triển biểu thức:

a) ${(x – 2y)}^6$

b) ${(3x – 1)}^5$

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy không quả (tức không lấy quả nào)?

Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có

Biết rằng trong khai triển ${(x + a)}^6$ với a là một số thực, hệ số của $x^4$ là 60. Tìm giá trị của a.

Xác định hệ số của x2 trong khai triển ${(3x + 2)}^9$.

Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển:

a) ${(2x + 1)}^6$ ;

b)${(x – y)}^7$

.

Từ các công thức khai triển:

${(a + b)}^0$= 1;

${(a + b)}^1$ = a + b;

${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$;

${(a + b)}^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3a{b}^2 + b^3$;

${(a + b)}^4 = a^4 + 4a^{3}b + 6a^2{b}^2 + 4a{b}^3 + b^4;$

${(a + b)}^5 = a^5 + 5a^{4}b + 10a^3{b}^2 + 10a^2{b}^3 + 5a{b}^4 + b^5;$

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như

$\begin{array}{ll}{C}_3^0=C_3^3=1,& C_4^1=C_4^3=4,\\ C_3^0+C_3^1=C_4^1,& C_4^2+C_4^3=C_5^3,\end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

$C_n^k=C_n^{n-k}(0\le k\le n);$

 

$C_n^{k-1}+C_n^k=C_{n+1}^k(1\le k\le n).$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},n\in \mathbb{N},0\le k\le n.$

Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1).

Lấy từ mỗi hộp một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để trong ba quả cầu lấy ra:

a) có 3 quả cầu dán nhãn b?

b) có 2 quả cầu dán nhãn b?

c) có 1 quả cầu dán nhãn b?

d) không có quả cầu nào dán nhãn b?

Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất để trong bốn lần gieo đó có hai lần xuất hiện mặt sấp và hai lần xuất hiện mặt ngửa.

Dự báo thời tiết trong ba ngày thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư của tuần sau cho biết, trong mỗi ngày này, khả năng có mưa và không mưa như nhau.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.

b) Tính xác suất của các biến cố:

F: “Trong ba ngày, có đúng một ngày có mưa”;

G: “Trong ba ngày, có ít nhất hai ngày không mưa”.

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:

a) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 8;

b) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 8.

B – Tự luận

Một hộp đựng bảy thẻ màu xanh đánh số từ 1 đến 7; năm thẻ màu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và hai thẻ màu vàng đánh số từ 1 đến 2. Rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Mỗi biến cố sau là tập con nào của không gian mẫu?

A: “Rút ra được thẻ màu đỏ hoặc màu vàng”;

B: “Rút ra được thẻ mang số hoặc là 2 hoặc là 3”.

Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là màu vàng và màu xanh tương ứng với hai loại gene là gene trội A và gene lặn a. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là hạt trơn và hạt nhăn tương ứng với hai loại gene là gene trội B và gene lặn b. Biết rằng, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ.

Phép thử là cho lai hai loại đậu Hà Lan, trong đó cả cây bố và cây mẹ đều có kiểu gene là (Aa, Bb) và kiểu hình là hạt màu vàng và trơn. Giả sử các kết quả có thể là đồng khả năng. Tính xác suất để cây con cũng có kiểu hình là hạt màu vàng và trơn.

Trên một phố có hai quán ăn X, Y. Ba bạn Sơn, Hải, Văn mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b) Tính xác suất của biến cố “Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”.

Gieo liên tiếp một con xúc xắc cân đối và một đồng xu cân đối.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

F: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;

G: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”. 

Một chiếc hộp đựng 6 viên bi trắng, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi đen. Chọn ngẫu nhiên ra 6 viên bi. Tính xác suất để trong 6 viên bi đó có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen.

Một hộp đựng các tấm thẻ đánh số 10; 11; ....; 20. Rút ngẫu nhiên từ hộp hai tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) C: “Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ”;

b) D: “Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn”.

B. Bài tập

Chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba con và quan sát giới tính của ba người con này. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) A: “Con đầu là gái”;

b) B: “Có ít nhất một người con trai”.

Cho ba hộp A, B, C. Hộp A có chứa ba thẻ mang số 1, số 2, số 3. Hộp B chứa hai thẻ mang số 2 và số 3. Hộp C chứa hai thẻ mang số 1 và số 2. Từ mỗi hộp ta rút ra ngẫu nhiên một thẻ.

a) Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b) Gọi M là biến cố: “Trong ba thẻ rút ra có ít nhất một thẻ số 1”. Biến cố \(\overline M \) là tập con nào của không gian mẫu?

c) Tính P(M) và P(\(\overline M \)).

Cho E là biến cố và Ω là không gian mẫu. Tính n(\(\overline E \)) theo n(Ω) và n(E).

Trong một cuộc tổng điều tra dân số, điều tra viên chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con và quan tâm giới tính của ba người con này.

a) Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.

b) Giả thiết rằng khả năng sinh con trai và khả năng sinh con gái là như nhau. Tính xác suất để gia đình đó có một con trai và hai con gái.

Trong trò chơi "Vòng quay may mắn", người chơi sẽ quay hai bánh xe. Mũi tên ở bánh xe thứ nhất có thể dừng ở một trong hai vị trí: Loại xe 50 cc và Loại xe 110 cc. Mũi tên ở bánh xe thứ hai có thể dừng ở một trong bốn vị trí: màu đen, màu trắng, màu đỏ và màu xanh. Vị trí của mũi tên trên hai bánh xe sẽ xác định người chơi nhận được loại xe nào, màu gì.

Phép thử T là quay hai bánh xe. Hãy vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.

Một tổ trong lớp 10B có 12 học sinh, trong đó có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong tổ để kiểm tra vở bài tập Toán. Tính xác suất để trong 6 học sinh được chọn số học sinh nữ bằng số học sinh nam.

Theo định nghĩa cổ điển của xác suất để tính xác suất của biến cố F: “Bạn An trúng giải độc đắc” và biến cố G: “Bạn An trúng giải nhất” ta cần xác định n(Ω), n(F) và n(G). Liệu có thể tính n(Ω), n(F) và n(G) bằng cách liệt kê ra hết các phần tử của Ω, F và G rồi kiểm đếm được không.