Thầy Đông cho học sinh của mình chơi một trò chơi. Thầy có 3 hộp bi A, B và C lần lượt có 5, 12 và 16 viên bi. Luật của trò chơi như sau: ta lấy từ 2 hộp bắt kỳ một viên bi rồi bỏ vào hộp còn lại. Thầy yêu cầu qua 3 lượt bắc thì cuối cùng hộp A, B, C sẽ có lần lượt 7, 8 và 18 viên bi.

1. Điền tiếp vào bảng số lượng bi của mỗi hộp A, B, C sau các lượt bốc:

	Hộp A	Hộp B	Hộp C
	5	12	16
Lượt 1	4	11	16
Lượt 2
Lượt 3
Cuối cùng	7	8	18

 

2. Lần tiếp theo thầy Đông yêu cầu cuối cùng mỗi hộp phải có 11 viên bi. Sau nhiều lần thử, một bạn học sinh nhận xét rằng “Sau một lần chuyển thì số bi mỗi hộp khi chia cho 3 sẽ có dư khác nhau”. Hãy chứng minh rằng bạn học sinh này đúng và qua đó xét xem yêu cầu của thầy Đông có thực hiện được hay không?

	Hộp A	Hộp B	Hộp C
	5	12	16
Lượt 1	4	11	16
Lượt 2	6	10	17
Lượt 3	8	9	16
Cuối cùng	7	8	18

2. Tại thời điểm lúc đầu 5; 12; 16 thì 12 chia hết cho 3; 16 chia 3 dư 1 và 5 chia 3 dư 2.

Giả sử bạn học sinh đó nói đúng, tại một thời điểm bất kì nào đó ta có bộ ba số số viên bi trong các hộp A, B, C là a, b, c với a chia hết cho 3, b chia 3 dư 1 và c chia 3 dư 2. Ta xét 3 trường hợp:

+) TH1: a bớt 1, b bớt 1 và c thêm 2

Khi đó (a − 1) chia cho 3 dư 2, (b − 1) chia hết cho 3 và (c + 2) chia cho 3 dư 2. Do đó, bộ 3 số mới cũng đúng với nhận xét.

+) TH2: a bớt 1, c bớt 1 và b thêm 2.

Khi đó (a – 1) chia cho 3 dư 2, (b + 2) chia hết cho 3 và (c − 1) chia cho 3 dư 1.

+) TH3: b bớt 1, c bớt 1 và a thêm 2

Khi đó, (a + 1) chia cho 3 dư 2, (b − 1) chia hết cho 3 và (c − 1) chia cho 3 dư 1.

Do đó, bộ ba số mới cũng đúng với nhận xét

- Như vậy, ở tất cả các trường hợp thì đều có bộ 3 số mới chia cho 3 có số dư khác nhau.

Do vậy, bạn học sinh nhận xét đúng.

- Vì bạn học sinh đó nhận xét đúng nên yêu cầu cuối cùng của thầy Đông không thực hiện được vì khi cả 3 hộp có 11 viên bi thì số dư các hộp là không giống nhau.

Do vậy, yêu cầu cuối cùng của thầy Đông là sai.