Từ các dữ kiện của đề bài, ta có thể tính được tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X mắc cả bệnh tim và huyết áp dựa vào các công thức cộng xác suất.

Ta có:

A = {3; 6}

B = {4}

Do đó, A ∩ B = ∅.

Vậy hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra.

Biến cố A và biến cố đối $\overline{A}$ có xung khắc. Vì A ∩ $\overline{A}$= ∅.

Hai biến cố E và F không xung khắc vì nếu bạn được chọn là một trong hai bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông thì cả E và F đều xảy ra.

Không gian mẫu: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có:

A = {3; 6}. Suy ra: P(A) = $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

B = {4}. Suy ra: P(B) = $\frac{1}{6}$.

A ∪ B = {3; 4; 6}. Suy ra: P(A ∪ B) = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Gọi A là biến cố “Chọn được hai quả cầu màu xanh”; B là biến cố “Chọn được hai quả cầu màu đỏ”; C là biến cố “Chọn được hai quả cầu có cùng màu”.

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi hai quả cầu được chọn có cùng màu đỏ hoặc có cùng màu xanh. Biến cố A xảy ra khi hai quả cầu được chọn có cùng màu xanh. Biến cố B xảy ra khi hai quả cầu được chọn có cùng màu đỏ. Vậy C là biến cố hợp của A và B hay C = A ∪ B.

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên ta có:

P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Do đó, ta cần tính P(A) và P(B).

Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm các tập con có hai phần tử của tập có 5 + 3 = 8 phần tử. Do đó, n(Ω) = $C_8^2$= 28.

Tính P(A):

Biến cố A là tập hợp gồm các tập con có hai phần tử của tập có 5 phần tử (5 quả cầu màu xanh). Do đó, n(A) = $C_5^2$ = 10. Suy ra, P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$.

Tính P(B):

Biến cố B là tập hợp gồm các tập con có hai phần tử của tập có 3 phần tử (3 quả cầu màu đỏ). Do đó, n(B) = $C_3^2$ = 3. Suy ra, P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3}{28}$.

Vậy P(C) = P(A) + P(B) = $\frac{5}{14}+\frac{3}{28}=\frac{13}{28}$.

a)

P(A) là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn;                    

P(B) là tỉ lệ học sinh học khá môn Toán;                

P(AB) là tỉ lệ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán;

P(A ∪ B) là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán.

b)

Để tính P(A ∪ B) ta không áp dụng được công thức P(A ∪ B) = P(A) + P(B) vì hai biến cố A và B không xung khắc, nếu học sinh được chọn nằm trong 7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán thì cả A và B cùng xảy ra.

Công thức cộng xác suất:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Khi hai biến cố A và B xung khắc thì A ∩ B = $\varnothing$ nên P(AB) = 0, do đó, công thức cộng xác suất trở thành: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – 0 = P(A) + P(B). Đây chính là công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc.

Vậy công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất.

Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn thích môn Bóng đá”; biến cố B là biến cố “Học sinh được chọn thích môn Bóng bàn”.

Biến cố “Học sinh được chọn thích cả hai môn Bóng đá và Bóng bàn” là biến cố giao của A và B.

Biến cố C là biến cố “Chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn” xảy ra khi và học sinh được chọn thích Bóng đá hoặc học sinh được chọn thích Bóng bàn. Do đó, C là biến cố hợp của A và B.

Áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Ta cần tính: P(A) , P(B), P(AB)

Không gian mẫu Ω là tập hợp học sinh lớp 11A nên n(Ω) = 30.

Tính P(A):

Biến cố A là tập hợp học sinh thích môn Bóng đá nên n(A) = 19.

Suy ra: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{19}{30}$.

Tính P(B):

Biến cố B là tập hợp học sinh thích môn Bóng bàn nên n(B) = 17.

Suy ra: P(B) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{17}{30}$.

Tính P(AB):

Biến cố “Học sinh được chọn thích cả hai môn Bóng đá và Bóng bàn” là biến cố giao của A và B nên n(AB) = 15.

Suy ra: P(AB) = $\frac{n\left(AB\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$.

Vậy P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = $\frac{19}{30}+\frac{17}{30}-\frac{1}{2}=\frac{7}{10}=0,7$.

Vậy xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn là 0,7.

Chọn ngẫu nhiên một người dân trên 50 tuổi của tỉnh X. Gọi A là biến cố “Người đó mắc bệnh tim”; B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp”; E là biến cố “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp”.

Khi đó $\overline{E}$ là biến cố “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp”. Biến cố “Người đó mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp” là biến cố giao của A và B.

Ta có: $\overline{E}$ = A ∪ B.

Áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P($\overline{E}$) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Áp dụng công thức xác suất của biến cố đối ta có:

P(E) = 1 – P($\overline{E}$).

Do đó, ta cần tính P(A), P(B), P(AB).

Ta có:

P(A) = 8,2% = 0,082

P(B) = 12,5% = 0,125

P(AB) = 5,7% = 0,057

Suy ra P($\overline{E}$) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,082 + 0,125 – 0,057 = 0,15.

Do đó P(E) = 1 – P($\overline{E}$) = 1 – 0,15 = 0,85.

Vậy tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp là 85%.

Gọi A là biến cố “Bạn Sơn lấy được viên bi màu xanh, bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh”; B là biến cố “Bạn Sơn lấy được viên bi màu đỏ, bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh”.

Do đó, biến cố “bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh” là biến cố hợp của A và B.

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên ta áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

+ Không gian mẫu Ω:

Hộp bao gồm: 6 + 8 = 14 viên bi

Mỗi phần tử của Ω được chọn bởi hai công đoạn:

Công đoạn 1: Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Có $C_{14}^1$ = 14 (cách chọn).

Công đoạn 2: Sau công đoạn 1, hộp còn lại 13 viên bi. Bạn Tùng lấy lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Có $C_{13}^1$ = 13 (cách chọn)

Theo quy tắc nhân, ta có: n(Ω) = 14 . 13 = 182.

+ Tính P(A):

Mỗi phần tử của A được chọn bởi hai công đoạn:

Công đoạn 1: Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi trong 8 viên bi màu xanh từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Có 8 cách chọn.

Công đoạn 2: Bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi trong 7 viên bi màu xanh còn lại trong hộp đó. Có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có: n(A) = 8 . 7 = 56.

Suy ra: P(A) = $\frac{56}{182}=\frac{4}{13}$.

+ Tính P(B):

Mỗi phần tử của B được chọn bởi hai công đoạn:

Công đoạn 1: Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi trong 6 viên bi màu đỏ từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Có 6 cách chọn.

Công đoạn 2: Bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi trong 8 viên bi màu xanh còn lại trong hộp đó. Có 8 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có: n(B) = 6 . 8 = 48.

Suy ra: P(B) = $\frac{48}{182}=\frac{24}{91}$.

Do đó, ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = $\frac{4}{13}+\frac{24}{91}=\frac{4}{7}$.

Vậy xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh là $\frac{4}{7}$.

Gọi A là biến cố “Bạn đó thích nhạc cổ điển”; B là biến cố “Bạn đó thích nhạc trẻ”; C là biến cố “Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ”. Biến cố “Bạn đó thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ” là biến cố giao của A và B.

Do đó, ta có: C = A ∪ B.

Biến cố $\overline{C}$ là biến cố “Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ”.

a)

Áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Ta cần tính: P(A), P(B), P(AB).

+ Không gian mẫu Ω là tập hợp các học sinh của lớp 11A nên n(Ω) = 40.

+ Tính P(A):

Biến cố A là tập hợp các học sinh thích nhạc cổ điển nên n(A) = 14.

Suy ra: P(A) = $\frac{14}{40}=\frac{7}{20}$.

+ Tính P(B):

Biến cố B là tập hợp các học sinh thích nhạc trẻ nên n(B) = 13.

Suy ra: P(B) = $\frac{13}{40}$.

+ Tính P(AB):

Biến cố giao của A và B là tập hợp các học sinh thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ nên n(AB) = 5.

Suy ra: P(AB) = $\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$.

Do đó, P(C) = P(A) + P(B) – P(AB) = $\frac{7}{20}+\frac{13}{40}-\frac{1}{8}=\frac{11}{20}$.

Vậy xác suất để bạn được chọn thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ là $\frac{11}{20}$.

b)

Áp dụng công thức tính xác suất của biến cố đối ta có:

P($\overline{C}$) = 1 – P(C) = 1 – $\frac{11}{20}$ = $\frac{19}{20}$.

Vậy xác suất để bạn được chọn không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ là $\frac{19}{20}$.

Gọi A là biến cố “Hộ đó nuôi chó” ; B là biến cố “Hộ đó nuôi mèo” ; C là biến cố “Hộ đó nuôi cả chó và mèo” ; D là biến cố “Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo”.

Như vậy, ta có:

C = A ∩ B; D = A ∪ B.

$\overline{D}$ là biến cố đối của D, tức là $\overline{D}$ là biến cố “Hộ đó không nuôi cả chó và mèo”.

a)

Áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(D) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(C)

Ta cần tính P(A), P(B), P(C)

+ Không gian mẫu Ω là tập hợp 50 hộ gia đình nên n(Ω) = 50.

+ Tính P(A):

Biến cố A là tập hợp các hộ gia đình nuôi chó nên n(A) = 18.

Suy ra: P(A) = $\frac{18}{50}=\frac{9}{25}$.

+ Tính P(B):

Biến cố B là tập hợp các hộ gia đình nuôi mèo nên n(B) = 16.

Suy ra: P(B) = $\frac{16}{50}=\frac{8}{25}$.

+ Tính P(C):

Biến cố C là tập hợp các hộ gia đình nuôi cả chó và mèo nên n(C) = 7.

Suy ra: P(C) = $\frac{7}{50}$.

Do đó, ta có: P(D) = P(A) + P(B) – P(C) = $\frac{9}{25}+\frac{8}{25}-\frac{7}{50}=\frac{27}{50}$.

Vậy xác suất để hộ được chọn nuôi chó hoặc mèo là $\frac{27}{50}$.

b)

Áp dụng công thức tính xác suất cho biến cố đối ta có:

P($\overline{D}$) = 1 – P(D) = 1 – $\frac{27}{50}$ = $\frac{23}{50}$.

Vậy xác suất để hộ được chọn không nuôi cả chó và mèo là $\frac{23}{50}$.

a)

Gọi E là biến cố “Người đó mua cuốn sách A”; F là biến cố “Người đó mua cuốn sách B” ; G là biến cố “Người đó mua cả hai cuốn sách A và B”; H là biến cố “Người đó mua ít nhất một trong hai sách A và B”.

Như vậy ta có:

G = E ∩ F ; H = E ∪ F.

Áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(H) = P(E ∪ F) = P(E) + P(F) – P(EF) = P(E) + P(F) – P(G)

Lại có:

P(E) = 50% = 0,5

P(F) = 70% = 0,7

P(G) = 30% = 0,3

Do đó, ta có: P(H) = P(E) + P(F) – P(G) = 0,5 + 0,7 – 0,3 = 0,9.

Vậy xác suất để người đó mua ít nhất một trong hai sách A và B là 0,9.

b)

Gọi $\overline{H}$ là biến cố đối của H, tức là $\overline{H}$ là biến cố “Người đó không mua cả sách A và sách B”.

Áp dụng công thức xác suất cho biến cố đối ta có:

P($\overline{H}$) = 1 – P(H) = 1 – 0,9 = 0,1.

Vậy xác suất để người đó không mua cả sách A và sách B là 0,1.

Gọi A là biến cố “Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách A”; B là biến cố “Giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách B”.

Do đó, A ∩ B là biến cố “Giáo viên Toán tham khảo cả hai bộ sách A và B”;

C = A ∪ B là biến cố “Giáo viên Toán tham khảo ít nhất một trong hai bộ sách A và B”.

Biến cố đối của C là biến cố $\overline{C}$: “Giáo viên Toán không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B”.

Ta có:

P(A) = 63% = 0,63

P(B) = 56% = 0,56

P(AB) = 28,5% = 0,285

Áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,63 + 0,56 – 0,285 = 0,905.

Áp dụng công thức xác suất cho biến cố đối ta có:

P($\overline{C}$) = 1 – P(C) = 1 – 0,905 = 0,095.

Vậy xác suất để giáo viên đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B là 0,095. Tức là, tỉ lệ có 9,5% giáo viên môn Toán tại các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B.