Trong cả ngày 22 tháng 6 của năm, hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) gần như chính là đường thẳng D nối giữa tâm Trái Đất, tâm Mặt Trời và cực Bắc của Trái Đất nghiêng về phía Mặt Trời (hình dưới). Do đó, góc giữa trục Trái Đất và đường nối hai tâm xấp xỉ bằng 66,5°. Mặt khác, Mặt Trời chiếu sáng nửa Trái Đất được cắt bởi mặt phẳng vuông góc với D. Vì vậy, trong cả ngày 22 tháng 6, mặc dù Trái Đất quay quanh trục và di chuyển trên quỹ đạo, nhưng gần như toàn bộ vùng có vĩ độ Bắc lớn hơn 66,5° (phía bắc vòng Bắc Cực) luôn được Mặt Trời chiếu sáng.

a) Bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua một phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt trời lên mặt sân.

b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân thì hình chiếu của cột thu về chân cột nên ta không thể quan sát được bóng của cây cột trên sân.

a) Nếu A là một điểm không thuộc mặt phẳng (P) và A' là hình chiếu của A trên (P) thì đường thẳng AA' vuông góc với mặt phẳng (P).

b) Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của a trên (P) là một điểm chính là giao điểm của a và (P).

a) Vì M', N' tương ứng là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng (P) nên hình chiếu của a trên mặt phẳng (P) là đường thẳng a' đi qua hai điểm M', N'.

b) Do M' là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) nên M'M ^ (P), mà b thuộc (P) nên M'M ^ b.

Vì b ^ M'N' và b ^ M'M nên b ^ mp(M'N', M'M).

Mà a thuộc mp(M'N', M'M) nên b ^ a.

c) Do M' là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) nên M'M ^ (P), mà b thuộc (P) nên M'M ^ b.

Vì b ^ a và b ^ M'M nên b ^ mp(a, M'M).

Mà M'N' thuộc mp(a, M'M) nên b ^ M'N'.

a) Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) nên SO ^ (ABC), suy ra SO ^ OA, SO ^ OB, SO ^ OC.

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO² + OA² = SA².

Xét tam giác SOB vuông tại O, có SO² + OB² = SB².

Xét tam giác SOC vuông tại O, có SO² + OC² = SC².

Mà SA = SB = SC nên OA = OB = OC hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC), A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC). Do đó OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC).

c) Vì SO ^ (ABC) nên SO ^ BC mà AO ^ BC nên BC ^ (SAO), suy ra BC ^ SA.

d) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC).

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC).

C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC).

Do đó hình chiếu của các tam giác SBC, SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC) lần lượt là: OBC, OCA, OAB.

Thông tin trên chưa đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh.

Gọi a, b là hai vị trí của trục Trái Đất, a // b.

Gọi a', b' tương ứng là hình chiếu của a, b trên (P).

Hai mặt phẳng mp(a, a') và mp(b, b') chứa hai phương tương ứng song song với nhau đó là các phương cùng vuông góc với (P) và a // b. Do đó hai mặt phẳng mp(a, a') và mp(b, b') song song với nhau hoặc trùng nhau. Suy ra giao tuyến của chúng với (P) là a' và b' cũng song song hoặc trùng nhau.

b) Hình chiếu của trục Trái Đất lên mặt phẳng (P) có phương cố định. Gọi m là đường thẳng đi qua tâm Mặt Trời và có phương cố định nói trên. Khi đó, hình chiếu của trục Trái Đất xuống (P) thuộc đường thẳng m khi và chỉ khi tâm Trái Đất ở vị trí là giao của m với đường elip quỹ đạo của Trái Đất. Như vậy có hai vị trí thuộc quỹ đạo, ứng với hai thời điểm trong năm mà hình chiếu của trục Trái Đất trên (P) thuộc đường thẳng m (nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất).

Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: a ^ (P).

Vì a ^ (P) và D ^ (P) nên a // D. Khi đó (a, D) = 0°; (a, P) = 90°.

Trường hợp 2: a // (P) hoặc a thuộc (P).

Vì a // (P) hoặc a thuộc (P) và D ^ (P) nên a ^ D. Khi đó (a, D) = 90°; (a, P) = 0°.

Trường hợp 3: a không vuông góc với (P) và a cắt (P) tại O.

Lấy điểm A khác O thuộc a và gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).

Có AH ^ (P) và D ^ (P) nên AH // D.

Khi đó (D, a) = (AH, a) = $\widehat{HAO}=90°-\widehat{HOA}=90°-(a,P)$  .

Vậy góc giữa a và D phụ thuộc vào góc giữa a và (P).

Để đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt bàn hoặc sàn lớp học ta có thể làm như sau:

Bước 1: Đặt một đầu dây lên mặt bàn hoặc sàn lớp học và giữ cho sợi dây căng thẳng.

Bước 2: Xác định hình chiếu vuông góc của dây trên mặt bàn hoặc sàn lớp học.

Bước 3: Dùng thước đo góc để đo góc tạo bởi sợi dây và hình chiếu của dây trên mặt bàn hoặc sàn lớp học.

Bước 4: Ghi lại kết quả đo.

a) Vì SA ^ (ABC) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

b) Có A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC),

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC),

C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC).

Do đó hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC) là tam giác ABC.

c) Có SA ^ (ABC) nên SA ^ BC.

Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB ^ BC.

Do AB ^ BC và SA ^ BC nên BC ^ (SAB), suy ra B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB).

B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAB), S là hình chiếu của S trên mặt phẳng (SAB).

Do đó hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB) là SB.

a) Vì SA ^ (ABCD) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và SC, mà (AC, SC) = $\widehat{SCA}$ .

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AC.

Xét tam giác SAC vuông tại A và SA = AC = $a\sqrt{2}$  nên tam giác SAC vuông cân tại A, suy ra $\widehat{SCA}=45°$ .

Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.

b) Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD.

Do ABCD là hình vuông nên AC ^ BD.

Vì SA ^ BD và AC ^ BD nên BD ^ (SAC).

Do đó góc giữa BD và mặt phẳng (SAC) bằng 90°.

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD và ABCD là hình vuông, suy ra BO ^ AC.

Mà SA ^ (ABCD) nên SA ^ BO.

Vì SA ^ BO và BO ^ AC nên BO ^ (SAC), suy ra O là hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAC).

Có S là hình chiếu của S trên mặt phẳng (SAC).

Do đó SO là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).

a) Kẻ AD ^ SB tại D.

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC.

Do ABC là tam giác vuông tại B nên AB ^ BC mà SA ^ BC, suy ra BC ^ (SAB).

Vì BC ^ (SAB) nên BC ^ AD mà AD ^ SB nên AD ^ (SBC).

Vậy D là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

b) Vì SA ^ (ABC) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và SC, mà (AC, SC) = $\widehat{SCA}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ AC.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{SCA}=35,26°$  .

Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) khoảng 35,26°.

a) Có H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (P) nên SH ^ (P), suy ra SH ^ HM, SH ^ HM'.

- Giả sử SM = SM'.

Xét tam giác SHM vuông tại H, có SM² = SH² + HM²

Xét tam giác SHM' vuông tại H, có SM'² = SH² + HM'².

Mà SM = SM' nên HM = HM'.

- Giả sử HM = HM'.

Xét tam giác SHM vuông tại H, có SM² = SH² + HM²

Xét tam giác SHM' vuông tại H, có SM'² = SH² + HM'².

Mà HM = HM' nên SM = SM'.

Vậy hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM và HM' tương ứng bằng nhau.

b) Trên tia HM lấy điểm N sao cho SN = SM' suy ra HN = HM'.

Mà SM > SM' nên SM > SN ⇒ HM > HN hay HM > HM'.

Hai máy bay có cùng độ lớn vận tốc nên sau 1 phút kể từ khi cất cánh hai máy bay bay được quãng đường bằng nhau tức AM = A'M'.

Xét tam giác ABM vuông tại B có BM = AM × sin10°

Xét tam giác A'CM' vuông tại C có CM' = A'M' × sin15°.

Mà sin10° < sin15° nên BM < CM'.

Vậy sau 1 phút cất cánh, máy bay có góc cất cánh 15° ở độ cao lớn hơn so với máy bay có góc cất cánh 10°.

Để đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm ta đưa về bài toán trên sân phẳng có một cây cột AB vuông góc với mặt sân, dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân AM chính là hình chiếu của cây cột. Khi đó góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang chính là góc $\widehat{BMA}$ .

Xét tam giác BAM vuông tại A, có: $\tan \widehat{BMA}=\frac{AB}{AM}$ .

Từ đó ta tính được góc BMA.