a) Trong quá trình đóng – mở cửa, đường thẳng AB cố định vì luôn đi qua hai bản lề cố định, đường thẳng BC trên sàn luôn đi qua điểm B cố định (B là giao của đường thẳng AB và mặt sàn). Vì đường thẳng BC quay quanh điểm B và (AB, BC) = 90° nên AB vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua B.

b) Lấy đường thẳng a bất kì trên mặt sàn. Xét a' là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua B và song song với a. Khi đó (AB, a) = (AB, a') = 90°.

Nếu đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau.

Vì nếu trái lại thì ∆ song song hoặc nằm trên (P). Khi đó, có đường thẳng a thuộc (P) và song song với ∆. Do đó (∆, a) = 0°, điều này mâu thuẫn với giả thiết ∆ vuông góc với (P).

a) Vì ABCD và ABMN là hình chữ nhật nên AB ^ AD, AB ^ AN.

b) Trong mô hình, đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác nên đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. Do đó đường thẳng đó vuông góc với cạnh còn lại của tam giác.

Do O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tam giác SAC có SA = SC nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO ^ AC.

Xét tam giác SBD có SB = SD nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO ^ BD.

Vì SO ^ AC và SO ^ BD nên SO ^ (ABCD).

Ta coi hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà là hai đường thẳng cắt nhau và sàn nhà là một mặt phẳng.

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà (chứa hai thanh đế).

Ta có (P) = mp(d, a) và (Q) = mp(d, b).

Do (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt nên a và b là hai đường thẳng phân biệt.

Do $\left.\begin{array}{l}d\perp a\\ d\text{\hspace{0.17em}//}\Delta \end{array}\right\}\Rightarrow a\perp \Delta$ hay (D, a) = (d, a) = 90°.

Do $\left.\begin{array}{l}d\perp b\\ d\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\Delta \end{array}\right\}\Rightarrow b\perp \Delta$  hay (D, b) = (d, b) = 90°.

Vậy D vuông góc với a và b và a, b đi qua O nên D ^ mp(a, b).

a) Vì a ^ (a) nên a và (a) có điểm chung, do đó (a) và (P) có điểm chung.

Mặt khác (a) không trùng (P) vì (a) vuông góc với a và a nằm trong (P). Do đó (a) và (P) cắt nhau theo một giao tuyến n.

Vì b ^ (b) nên b và (b) có điểm chung, do đó (b) và (P) có điểm chung.

Lại có (b) không trùng với (P) vì (b) vuông góc với b và b nằm trong (P). Do đó (b) và (P) cắt nhau theo giao tuyến m.

Do m ^ b, n ^ a và a, b cắt nhau nên m, n cắt nhau suy ra chúng phân biệt.

Do đó, (a) và (b) không thể trùng nhau. Mặt khác, (a) và (b) có điểm chung O nên chúng cắt nhau theo một đường thẳng D đi qua O.

b) Vì (a) và (b) đều đi qua O nên giao tuyến D của chúng đi qua O. Hơn nữa a, b tương ứng vuông góc với (a) và (b) nên chúng vuông góc với D. Do D vuông góc với a, b nên D vuông góc (P).

Theo đề có AB ^ (P) và AC ^ (P).

Mà có duy nhất một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) nên AB và AC trùng nhau. Do đó A, B, C thẳng hàng.

Vì a ^ (P) mà m Ì (P) nên a ^ m hay (a, m) = 90°.

Mà b // a nên (b, m) = (a, m) = 90°.

Do b vuông góc với mọi đường thẳng m bất kì trong (P) nên b vuông góc với (P).

a) Vì b ^ (P) và c // b nên c ^ (P).

Vì a và c cắt nhau tại O, mà a ^ (P) và c ^ (P) nên a và c trùng nhau.

Vì D ^ (P) mà a thuộc (P) nên (D, a) = 90°.

Lại có a // b nên (D, a) = (D, b) = 90°.

Vì (D, b) = 90° nên D ^ b mà b là đường thẳng bất kì thuộc (Q) nên D ^ (Q).

a) Do D ^ (Q) mà (Q) // (R) nên D ^ (R).

Do D ^ (R) và D ^ (P) mà (P) và (R) cùng đi qua O nên (P) và (R) trùng nhau.

b) Vì (P) và (R) trùng nhau mà (Q) // (R) nên (P) // (Q).

Ta coi chân bàn như đường thẳng, mặt bàn và mặt sàn là hai mặt phẳng.

Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn thì hai mặt phẳng đó song song với nhau vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Vì a song song với mặt phẳng (P) nên a song song với một đường thẳng b nằm trong (P).

Mà đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) nên (D, b) = 90°.

Khi đó (D, a) = (D, b) = 90°.

Vậy (D, a) = 90°.

a) Do a // a' và D ^ a nên D ^ a'.

Lại có D ^ (P) suy ra, a' // (P) hoặc a' thuộc (P).

Vì a' đi qua O thuộc (P) nên a' thuộc (P).

b) Vì a // a' , a' thuộc (P) nên a thuộc (P) hoặc a song song với (P).

Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BD mà AC ^ BD nên BD ^ (SAC).

Do BD ^ (SAC) nên BD ^ SC.

Vì BM ^ SC mà BD ^ SC nên SC ^ (BMD).

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì SC ^ (BMD) nên SC ^ OM.

Lại có AH ^ SC và SC ^ OM nên AH // OM.

Vì AH // OM và OM Ì (MBD) nên AH // (MBD).

a) Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC.

Vì ABC là tam giác cân tại A, AM là trung tuyến nên AM là đường cao hay AM ^ BC.

Do SA ^ BC và AM ^ BC nên BC ^ (SAM).

b) Vì BC ^ (SAM) nên BC ^ SM.

Xét tam giác SBC có SM là trung tuyến đồng thời là đường cao nên tam giác SBC cân tại S.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AD, SA ^ AB, SA ^ BC, SA ^ CD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB ^ BC, AD ^ DC.

Vì SA ^ AB nên tam giác SAB vuông tại A.

Vì SA ^ AD nên tam giác SAD vuông tại A.

Vì SA ^ BC và AB ^ BC nên BC ^ (SAB), suy ra BC ^ SB hay tam giác SBC vuông tại B.

Vì SA ^ CD và AD ^ DC nên CD ^ (SAD), suy ra CD ^ SD hay tam giác SCD vuông tại D.

- Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BC.

Do ABCD là hình chữ nhật nên BC ^ AB mà SA ^ BC nên BC ^ (SAB), suy ra BC ^ AM.

Lại có, M là hình chiếu của A trên SB nên AM ^ SB.

Vì AM ^ SB và BC ^ AM nên AM ^ (SBC).

- Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ CD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD ^ CD.

Vì AD ^ CD và SA ^ CD nên CD ^ (SAD), suy ra CD ^ AN.

Do N là hình chiếu của A trên SD nên AN ^ SD.

Vì AN ^ SD và CD ^ AN nên AN ^ (SCD).

- Do AM ^ (SBC) nên AM ^ SC và AN ^ (SCD) nên AN ^ SC.

Vì AM ^ SC và AN ^ SC nên SC ^ (AMN).

Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng.

Có 1² + 1² ≠ 1,5² . Do đó theo định lí Pythagore thì cột không vuông góc với mặt sân.

Do đó cột không có phương thẳng đứng.