Bài học này sẽ giúp chúng ta tìm hiểu về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a' và b, b' cùng thuộc một mặt phẳng vì a // a' và b // b'.

b) Có a // a' nên OA // O'A'.

Vì OA // O'A' và AA' // OO' nên OAA'O' là hình bình hành.

Có b // b' nên OB // O'B'.

Vì OB // O'B' và BB' // OO' nên OBB'O' là hình bình hành.

Vì OAA'O' là hình bình hành nên AA' = OO', OBB'O' là hình bình hành nên BB' = OO', suy ra AA' = BB'.

Vì AA' // OO' và BB' // OO' nên BB' // AA'.

Vì AA' = BB' và BB' // AA' nên ABB'A' là hình bình hành.

c) Ta có góc giữa hai đường thẳng a, b là $\widehat{AOB}$  và góc giữa hai đường thẳng a', b' là $\widehat{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

Vì OAA'O' là hình bình hành nên OA = O'A'.

Vì OBB'O' là hình bình hành nên OB = O'B'.

Vì ABB'A' là hình bình hành nên AB = A'B'.

Do đó DOAB và DO'A'B' có các cạnh tương ứng bằng nhau.

Áp dụng định lí côsin cho DOAB có :  $cos\widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2\cdot OA\cdot OB}$.

Áp dụng định lí côsin cho DO'A'B' có: $cos\widehat{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{O^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^2+O^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2-A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2}{2\cdot O^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\cdot O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

Do DOAB và DO'A'B' có các cạnh tương ứng bằng nhau nên $cos\widehat{AOB}=cos\widehat{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$  .

Vậy góc giữa hai đường thẳng a, b và góc giữa hai đường thẳng a', b' bằng nhau.

Nếu a song song hoặc trùng với a' và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) = (a', b').

Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD.

Khi đó (SC, AB) = (SC, CD) = $\widehat{SCD}$ .

Gọi H là trung điểm của CD, suy ra  $DH=HC=\frac{CD}{2}=\frac{230}{2}=115$(m).

Vì tam giác SCD có SC = SD nên tam giác SCD cân tại S mà SH là trung tuyến nên SH là đường cao.

Xét tam giác SHC vuông tại H có: $cos\widehat{SCD}=cos\widehat{SCH}=\frac{HC}{SC}=\frac{115}{219}$

$\Rightarrow \widehat{SCD}\approx 58,3°$.

Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp khoảng 58,3°.

Vì khuôn cửa và hai cánh cửa là các hình chữ nhật hay ABCD và MNPQ là các hình chữ nhật nên BC // AD mà AD // MQ. Do đó BC // MQ.

Khi đó (BC, MN) = (MQ, MN) = $\widehat{QMN}$.

Do MNPQ là hình chữ nhật nên $\widehat{QMN}=90°$ .

Vậy góc giữa hai đường mép cửa BC và MN bằng 90°.

Vì a ^ b nên (a, b) = 90° mà b // c nên (a, b) = (a, c) = 90°. Vậy a ^ c.

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // BC.

Xét tam giác ACD có N là trung điểm của AC, P là trung điểm của CD nên NP là đường trung bình của tam giác ACD, suy ra NP // AD.

Khi đó (AD, BC) = (NP, MN) = $\widehat{MNP}$.

Do tam giác MNP vuông tại N nên $\widehat{MNP}=90°$.

Vậy AD và BC vuông góc với nhau.

Nếu D Î (ABC) thì A Î (MNP) (vô lí).

Do đó D Ï (ABC) nên AD và BC chéo nhau.

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên các mặt bên là hình bình hành.

Do ABB'A' là hình bình hành nên AB // A'B'.

Khi đó (AB, B'C') = (A'B', B'C') = $\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  .

Do tam giác A'B'C' là tam giác đều nên $\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=60°$  .

Vậy (AB, B'C') = 60°.

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau nên các mặt của hình hộp là hình thoi.

Vì ABB'A' là hình thoi nên AB' ^ A'B.

Có CB // A'D' và CB = A'D' (do cùng song song và bằng AD). Do đó CBA'D' là hình bình hành, suy ra CD' // BA'.

Khi đó (CD', AB') = (BA', AB') = 90°.

Vậy CD' và AB' vuông góc với nhau.

Vì ADD'A' là hình thoi nên AD' ^ A'D.

Có CD // A'B' và CD = A'B' (vì CD, A'B' cùng song song và bằng AB) nên CDA'B' là hình bình hành, suy ra CB' // DA'.

Khi đó (CB', AD') = (DA', AD') = 90°.

Vậy CB' và AD' vuông góc với nhau.

Do ABCD là hình thoi nên AC ^ BD.

Vì BB' // DD' và BB' = DD' (do BB', DD' cùng song song và bằng AA' ) nên BDD'B' là hình bình hành, suy ra BD // B'D'.

Khi đó (AC, B'D') = (AC, BD) = 90°.

Vậy AC và B'D' vuông góc với nhau.

b) Gọi AG cắt BC tại E, suy ra E là trung điểm BC, AK cắt CD tại F, suy ra F là trung điểm CD.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$, K là trọng tâm tam giác ACD nên $\frac{AK}{AF}=\frac{2}{3}$.

Xét tam giác AEF có $\frac{AG}{AE}=\frac{AK}{AF}=\frac{2}{3}$ nên GK // EF.

Xét tam giác BCD có E, F lần lượt là trung điểm của BC, CD nên EF là đường trung bình, suy ra EF // BD.