25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3: Các công thức lượng giác

Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3: Các công thức lượng giác

Đề số 1

Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3: Các công thức lượng giác

145 lượt thi
25 câu hỏi
0 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH? (ảnh 1)

Đặt chiều rộng cổng AH = d.

⇒ OA = OB = $\frac{1}{2}$ d.

Xét tam giác OBB’ vuông tại B’, có:

$\sin \hat{B O B'} = \frac{B B'}{O B} = \frac{27}{\frac{d}{2}} = \frac{54}{d}$ .

Vì $\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{B C}$ nên sđ $\overset{⏜}{A C}$ = 2.sđ $\overset{⏜}{A B}$ $\Rightarrow \hat{A O C} = 2 \hat{B O B'}$

Xét tam giác OCC’ vuông tại C’, có:

$\sin \hat{C O C'} = \frac{C C'}{O C} \Leftrightarrow C C' = O C . \sin \hat{C O C'} = O C . \sin (2 \hat{B O B'})$

Sau bài học này ta sẽ giải quyết tiếp được bài toán như sau:

$\sin (2 \hat{B O B'}) = 2 \sin \hat{B O B'} . \cos \hat{B O B'} = 2. \frac{54}{d} . \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}} = \frac{108}{d} \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}}$ .

Vậy khoảng cách này từ điểm C đến AH là

\frac{108}{d} \sqrt{1 - {(\frac{54}{d})}^{2}}

.

Câu 2:

Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\vec{O M}$ và $\vec{O N}$ sau đây:

$\vec{O M} . \vec{O N} = |\vec{O M}| . |\vec{O N}| . cos (\vec{O M}, \vec{O N}) = cos (\vec{O M}, \vec{O N}) = cos (α - β)$

$\vec{O M} . \vec{O N} = x_{M} . x_{N} + y_{M} . y_{N}$ ,

Hãy suy ra công thức tính cos(α – β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng – β.

Ta có: cos(α – β) = x_M.x_N + y_M.y_N = cosα.cosβ + sinα.sinβ.

Ta có: cos(α + β) = cos(α – (– β)) = cosα.cos(–β) + sinα.sin(–β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ.

Câu 3:

Tính $\sin \frac{π}{12}$ và $\tan \frac{π}{12}$ .

$\sin \frac{π}{12} = \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{3} . cos \frac{π}{4} - cos \frac{π}{3} . sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Ở ví dụ 1 ta có: $cos \frac{π}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Suy ra

\tan \frac{π}{12} = \frac{\sin \frac{π}{12}}{cos \frac{π}{12}} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2 - \sqrt{3}

Câu 4:

Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Ta có:

cos2α = cos(α + α) = cosα.cosα – sinα.sinα = cos²α – sin²α = cos²α + sin²α – 2sin²α = 1 – 2sin²α = 2cos²α – 1.

sin2α = sin(α + α) = sinα.cosα + cosα.sinα = 2.sinα.cosα .

$\tan 2 α = \tan (α + α) = \frac{\tan α + \tan α}{1 - \tan α . \tan α} = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}$ .

Câu 5:

Tính $cos \frac{π}{8}$ và $\tan \frac{π}{8}$ .

+) Ta có: $cos \frac{π}{4} = cos (2. \frac{π}{8}) = 2 {cos}^{2} \frac{π}{8} - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow {cos}^{2} \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2} + 2}{4}$

$\Rightarrow cos \frac{π}{8} = \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 2}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ (vì $0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{2}$ ).

+) $\tan \frac{π}{4} = \tan (2. \frac{π}{8}) = \frac{2 \tan \frac{π}{8}}{1 - \tan^{2} \frac{π}{8}} = 1$

$\Leftrightarrow 1 - \tan^{2} \frac{π}{8} = 2 \tan \frac{π}{8}$

$\Leftrightarrow \tan^{2} \frac{π}{8} + 2 \tan \frac{π}{8} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \tan \frac{π}{8} = - 1 + \sqrt{2}$ (vì $0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{2}$ ).

Câu 6:

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

a) cos(α – β) và cos(α + β) ;

a) Ta có: cos(α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ; cos(α + β) = cosα.cosβ – sinα.sinβ

Khi đó:

cos(α – β) + cos(α + β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ + cosα.cosβ – sinα.sinβ

= 2cosα.cosβ.

cos(α – β) – cos(α + β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ – cosα.cosβ + sinα.sinβ

= 2sinα.sinβ .

Câu 7:

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

b) sin(α – β) và sin(α + β) .

b) Ta có: sin(α – β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ; sin(α + β) = sinα.cosβ – cosα.sinβ

Khi đó:

sin(α – β) + sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ + sinα.cosβ – cosα.sinβ = 2sinα.cosβ.

sin(α – β) – sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ – sinα.cosβ + cosα.sinβ = 2cosα.sinβ.

Câu 8:

Tính giá trị của các biểu thức $\sin \frac{π}{24} cos \frac{5 π}{24}$ và $\sin \frac{7 π}{8} sin \frac{5 π}{8}$ .

Ta có:

$\sin \frac{π}{24} cos \frac{5 π}{24} = \frac{1}{2} [\sin (\frac{π}{24} - \frac{5 π}{24}) + \sin (\frac{π}{24} + \frac{5 π}{24})] = \frac{1}{2} [\sin (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4})]$

$= \frac{1}{2} [- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}] = \frac{\sqrt{2} - 1}{4}$

$\sin \frac{7 π}{8} sin \frac{5 π}{8} = \frac{1}{2} [cos (\frac{7 π}{8} - \frac{5 π}{8}) - cos (\frac{7 π}{8} + \frac{5 π}{8})] = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{4} - cos \frac{3 π}{2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + 0) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Câu 9:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác $a = \frac{α + β}{2}$ và $b = \frac{α - β}{2}$ ta được các đẳng thức nào?

Ta có:

$\cos a . \cos b = \cos \frac{α + β}{2} . \cos \frac{α - β}{2} = \frac{1}{2} [\cos (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) + \cos (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2})]$

$= \frac{1}{2} (\cos β + \cos α)$ .

$\sin a . \sin b = \sin \frac{α + β}{2} . \sin \frac{α - β}{2} = \frac{1}{2} [\cos (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) - \cos (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2})]$

$= \frac{1}{2} (\cos β - \cos α)$ .

$\sin a . cos b = \sin \frac{α + β}{2} . cos \frac{α - β}{2} = \frac{1}{2} [\sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) + \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2})]$

$= \frac{1}{2} (\sin β + \sin α)$ .

Câu 10:

Tính $cos \frac{7 π}{12} + cos \frac{π}{12}$ .

$cos \frac{7 π}{12} + cos \frac{π}{12} = 2 cos (\frac{\frac{7 π}{12} + \frac{π}{12}}{2}) cos (\frac{\frac{7 π}{12} - \frac{π}{12}}{2}) = 2 cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} = 2. \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 11:

Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120 cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27 cm. Tính sin α và cos α, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120 cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27 cm. Tính sin α và cos α, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười. (ảnh 1)

Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120 cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27 cm. Tính sin α và cos α, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười. (ảnh 2)

Ta có: OA = OB = $\frac{120}{2} = 60$ cm.

Xét tam giác OBB’ vuông tại B’, có:

$\sin \hat{B O B'} = \frac{B B'}{O B} = \frac{27}{60} = \frac{9}{20}$ .

$\Rightarrow cos \hat{B O B'} = \sqrt{1 - {(\frac{9}{20})}^{2}} = \frac{\sqrt{319}}{20}$

Vì $\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{B C}$ nên sđ $\overset{⏜}{A C}$ = 2.sđ $\overset{⏜}{A B}$ $\Rightarrow \hat{A O C} = 2 \hat{B O B'}$

Xét tam giác OCC’ vuông tại C’, có:

$\sin \hat{C O C'} = \frac{C C'}{O C} \Leftrightarrow C C' = O C . \sin \hat{C O C'} = O C . \sin (2 \hat{B O B'})$

Sau bài học này ta sẽ giải quyết tiếp được bài toán như sau:

$\sin (2 \hat{B O B'}) = 2 \sin \hat{B O B'} . \cos \hat{B O B'} = 2. \frac{9}{20} . \frac{\sqrt{319}}{20} = \frac{9 \sqrt{319}}{200}$ .

Vậy khoảng cách này từ điểm C đến AH là $60. \frac{9 \sqrt{319}}{200} \approx 48, 2 (c m)$ .

Câu 12:

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc :

a) $\frac{5 π}{12}$ ;

a) Ta có:

+) $cos \frac{5 π}{12} = cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{6}) = cos \frac{π}{4} . cos \frac{π}{6} - sin \frac{π}{4} . \sin \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{1}{2}$ $= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ +.

+) + $\sin \frac{5 π}{12} = \sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{6}) = \sin \frac{π}{4} . cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{4} . \sin \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{1}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

+) $\tan \frac{5 π}{12} = \frac{\sin \frac{5 π}{12}}{cos \frac{5 π}{12}} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2 - \sqrt{3}$ .

+) $\cot \frac{5 π}{12} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ .

Câu 13:

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc :

b) – 555°.

b) Ta có:

– 555° = $\frac{π . (- 555 °)}{180 °} = - \frac{37 π}{12} = - (3 π + \frac{π}{12})$ rad.

Khi đó:

+) $cos (- 555 °) = cos (3 π + \frac{π}{12}) = - cos (\frac{π}{12}) = - cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

$= - (cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} + \sin \frac{π}{3} \sin \frac{π}{4}) = - (\frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

+) $\sin (- 555 °) = \sin (3 π + \frac{π}{12}) = \sin (\frac{π}{12}) = \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

$= \sin \frac{π}{3} cos \frac{π}{4} - cos \frac{π}{3} \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

+) $\tan (- 555 °) = \frac{\sin (- 555 °)}{cos (- 555 °)} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = - 2 + \sqrt{3}$ .

+) $\cot (- 555 °) = \frac{1}{- 2 + \sqrt{3}} = - 2 - \sqrt{3}$ .

Câu 14:

Tính $\sin (α + \frac{π}{6}), cos (\frac{π}{4} - α)$ biết $\sin α = - \frac{5}{13}$ và $π < α < \frac{3 π}{2}$ .

Ta có: $cos α = - \sqrt{1 - {(- \frac{5}{13})}^{2}} = - \frac{12}{13}$ (vì $π < α < \frac{3 π}{2}$ ).

Ta lại có:

$\sin (α + \frac{π}{6}) = (- \frac{5}{13}) . \frac{\sqrt{3}}{2} + (- \frac{12}{13}) . \frac{1}{2} = \frac{- 12 + 5 \sqrt{3}}{26}$ ;

$cos (\frac{π}{4} - α) = cos \frac{π}{4} cos α + \sin \frac{π}{4} \sin α = \frac{\sqrt{2}}{2} . (- \frac{12}{13}) + \frac{\sqrt{2}}{2} . (- \frac{5}{13}) = \frac{- 17 \sqrt{2}}{26}$ .

Câu 15:

Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

a) $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ và $0 < α < \frac{π}{2}$ ;

a) Ta có: $cos α = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ (vì $0 < α < \frac{π}{2}$ ).

Khi đó:

$\sin 2 α = 2. \sin α . cos α = 2. \frac{\sqrt{3}}{3} . \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ;

$cos 2 α = 2. {cos}^{2} α - 1 = 2. {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2} - 1 = \frac{1}{3}$ ;

$\tan 2 α = \frac{\sin 2 α}{cos 2 α} = \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2 \sqrt{2}$ ;

$\cot 2 α = \frac{1}{\tan 2 α} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Câu 16:

Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

b) $\sin \frac{α}{2} = \frac{3}{4}$ và $π < α < 2 π$ .

b) Ta có: $cos \frac{α}{2} = - \sqrt{1 - {(\frac{3}{4})}^{2}} = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ (vì $π < α < 2 π \Leftrightarrow \frac{π}{2} < \frac{α}{2} < π$ ).

Khi đó:

$\sin α = 2. \sin \frac{α}{2} . cos \frac{α}{2} = 2. \frac{3}{4} . (- \frac{\sqrt{7}}{4}) = - \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ;

$cos α = 2. {cos}^{2} \frac{α}{2} - 1 = 2. {(- \frac{\sqrt{7}}{4})}^{2} - 1 = - \frac{1}{8}$ ;

$\sin 2 α = 2. \sin α . cos α = 2. (- \frac{3 \sqrt{7}}{8}) . (- \frac{1}{8}) = \frac{3 \sqrt{7}}{32}$ ;

$cos 2 α = 2. {cos}^{2} α - 1 = 2. {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 = - \frac{31}{32}$ ;

$\tan 2 α = \frac{\sin 2 α}{cos 2 α} = \frac{\frac{3 \sqrt{7}}{8}}{- \frac{31}{32}} = - \frac{12 \sqrt{7}}{31}$ ;

$\cot 2 α = \frac{1}{\tan 2 α} = - \frac{31}{12 \sqrt{7}}$ .

Câu 17:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{2} \sin (α + \frac{π}{4}) - cos α$ ;

a) $\sqrt{2} \sin (α + \frac{π}{4}) - cos α$

$= \sqrt{2} . (\sin α . cos \frac{π}{4} + cos α . \sin \frac{π}{4}) - cos α$

$= \sqrt{2} . (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin α + \frac{\sqrt{2}}{2} cos α) - cos α$

$= \sin α + cos α - cos α$

$= \sin α$ .

Câu 18:

Rút gọn các biểu thức sau:

b) ${(\cos α + \sin α)}^{2} - \sin 2 α$ .

b) ${(\cos α + \sin α)}^{2} - \sin 2 α$

$= \cos^{2} α + \sin^{2} α + 2 \sin α . \cos α - 2 \sin α . cos α$

=1

Câu 19:

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) $cos 2 α = \frac{2}{5}$ và $- \frac{π}{2} < α < 0$ ;

a) Ta có: $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = \frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow {cos}^{2} α = \frac{7}{10}$

$\Leftrightarrow cos α = \frac{\sqrt{70}}{10}$ (vì $- \frac{π}{2} < α < 0$ ).

Mặt khác $cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α = \frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} α = \frac{3}{10}$

$\Leftrightarrow \sin α = - \frac{\sqrt{30}}{100}$ (vì $- \frac{π}{2} < α < 0$ ).

Khi đó:

$\tan α = \frac{\sin α}{cos α} = \frac{- \frac{\sqrt{30}}{100}}{\frac{\sqrt{70}}{100}} = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ .

$\cot α = \frac{1}{\tan α} = - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

Câu 20:

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

b) $\sin 2 α = - \frac{4}{9}$ và $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}$ .

b) $\sin 2 α = - \frac{4}{9}$ và $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}$ .

Ta có $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow π < 2 α < \frac{3 π}{2}$

$\Rightarrow cos 2 α = - \sqrt{1 - {(- \frac{4}{9})}^{2}} = - \frac{\sqrt{65}}{9}$

Ta có: $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = - \frac{\sqrt{65}}{9}$

$\Leftrightarrow {cos}^{2} α = \frac{9 - \sqrt{65}}{18}$

$\Leftrightarrow cos α = \sqrt{\frac{9 - \sqrt{65}}{18}}$ (vì $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}$ ).

Mặt khác $cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α = - \frac{\sqrt{65}}{9}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} α = \frac{\sqrt{65} + 1}{18}$

$\Leftrightarrow \sin α = \frac{\sqrt{65} + 1}{18}$ (vì $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{4}$ ).

Khi đó:

$\tan α = \frac{\sin α}{cos α} = \frac{\frac{\sqrt{65} + 1}{18}}{\frac{1 - \sqrt{65}}{18}} = \frac{\sqrt{65} + 1}{1 - \sqrt{65}}$ .

$\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1 - \sqrt{65}}{\sqrt{65} + 1}$ .

Câu 21:

Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có sinA = sinB.cosC + sinC.cosB.

Xét tam giác ABC, có:

A + B + C = 180° ⇒ A = 180° – (B + C)

sinA = sin(180° – (B + C)) = sin(B + C) = sinB.cosC + sinC.cosB.

Câu 22:

Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn $\hat{C A D} = 30 °$ . Tính $\tan \hat{B A D}$ , từ đó tính độ dài cạnh CD.

Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa m (ảnh 1)

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$\tan \hat{B A C} = \frac{3}{4}$ .

Ta lại có: $\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D}$

$\Rightarrow \tan \hat{B A D} = \tan (\hat{B A C} + \hat{C A D}) = \tan (\hat{B A C} + 30 °) = \frac{\tan \hat{B A C} + \tan 30 °}{1 - \tan \hat{B A C} . \tan 30 °}$

$= \frac{\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3}{4} . \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{48 + 25 \sqrt{3}}{39} \approx 2, 34$ .

Xét tam giác ABD vuông tại B có:

$\tan \hat{B A D} = \frac{B D}{A B} \Rightarrow B D = \tan \hat{B A D} . A B = 2, 34.4 \approx 9, 36$ .

⇒ CD = BD – BC ≈ 9,36 – 3 = 6,36.

Câu 23:

Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít – tông khi $α = \frac{π}{2}$ và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8cm, viết công thức tính tọa độ x_M của điểm M trên trục Ox theo α.

b) Ban đầu α = 0. Sau 1 phút chuyển động, x_M = – 3cm. Xác định x_M sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít – tông (ảnh 1)

Tại $α = \frac{π}{2}$ thì H trùng I, M trùng O nên MH = OI do đó OM = IH.

Xét tam giác AHI vuông tại H có: IH = cosα.IA = 8cosα.

Câu 24:

Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2 π}{3}$ và số đo góc (OA, OM) là α.

a) Tính sinα và cosα.

a) Tính sinα và cosα

Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là (ảnh 1)

Từ điểm M kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy.

Ta có: MH = 60 – 30 = 30 m.

Khi đó hoành độ điểm M là 30.

Mặt khác hoành độ điểm M là: x_M = 31.cosα.

⇒ cosα = $\frac{30}{31}$

⇒ $\sin α = - \sqrt{1 - {(\frac{30}{31})}^{2}} = - \frac{\sqrt{61}}{31}$ .

Câu 25:

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

b) Vì các cánh quạt tạo thành 3 góc bằng nhau nên $\hat{M O P} = \hat{N O P} = \hat{M O N} = 120 °$

$\Rightarrow \hat{A O P} = \hat{M O P} - \hat{M O A}$

$\Rightarrow \sin \hat{A O P} = \sin (\hat{M O P} - \hat{M O A}) = \sin \hat{M O P} . cos \hat{M O A} - cos \hat{M O P} . \sin \hat{M O A}$

$= \sin \frac{2 π}{3} . cos α - cos \frac{2 π}{3} . \sin α$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{30}{31} + \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{61}}{31} \approx 0, 96$ .

$\Rightarrow \sin (O A, O P) = \sin \hat{A O P} \approx 0, 96$ .

Vì vậy chiều cao của điểm P so với mặt đất khoảng: 31.sinα + 60 = 89,76 m.

Ta có: $cos \hat{A O P} \approx \sqrt{1 - 0, 96^{2}} = 0, 28$ .

Ta có: $\hat{A O N} = \hat{A O P} + \hat{P O N}$

$\Rightarrow \sin \hat{A O N} = \sin (\hat{A O P} + \hat{P O N}) = \sin \hat{A O P} . cos \hat{P O N} +cos \hat{A O P} . \sin \hat{P O N}$

$= 0, 96. cos \frac{2 π}{3} - 0, 28. \sin \frac{2 π}{3}$

$= 0, 96. (- \frac{1}{2}) + 0, 28. \frac{\sqrt{3}}{2} \approx - 0, 23$ .

$\Rightarrow \sin (O A, O N) = \sin \hat{A O N} \approx - 0, 23$ .

Vì vậy chiều cao của điểm N so với mặt đất khoảng: 31.sinα + 60 = 89,76 m.

Bắt đầu thi ngay