Đáp án đúng là C

Biên độ tăng gấp đôi thì cơ năng tăng 4 lần, động năng và thế năng phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của vật. Chỉ có vận tốc cực đại \[{v_{\max }} = A\omega \] tăng gấp đôi.

Đáp án đúng là C

Cơ năng của một chất điểm dao động điều hoà tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động theo công thức \[W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\]

Đáp án đúng là D

Biên độ, tần số góc, năng lượng toàn phần là ba đại lượng không đổi trong dao động điều hoà.

Đáp án đúng là C

\[{W_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}m{\left( {x'} \right)^2} = \frac{1}{2}m{\left[ {A\omega \cos \left( {\omega t + \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]^2}\]

\[ = \frac{1}{2}m{A^2}{\omega ^2}{\cos ^2}\left( {\omega t + \frac{{7\pi }}{6}} \right) = \frac{{m{A^2}{\omega ^2}}}{4}\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t + \frac{{7\pi }}{3}} \right)} \right]\]

Đáp án đúng là A

Thời gian giữa năm lần liên tiếp động năng bằng thế năng là:

\(4 \cdot \frac{T}{4} = 0,4 \Rightarrow T = 0,4{\rm{\;s}} \Rightarrow f = \frac{1}{{0,4}} = 2,5{\rm{\;Hz}}\)

Đáp án đúng là A

Động năng cực đại bằng cơ năng: \[{W_{d\max }} = W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}\]

Cơ năng của dao động: \(W = \frac{{m{\omega ^2}{A^2}}}{2} = \frac{m}{2}{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)^2}{A^2} = \frac{{0,4 \cdot {{\left( {\frac{{2\pi }}{{0,2\pi }}} \right)}^2} \cdot {{(0,1)}^2}}}{2} = 0,2{\rm{\;J}}.\)

Tốc độ tại P: \({v_P} = \sqrt {\frac{{2{W_{dP}}}}{m}} = 80{\rm{\;cm/s}}\); tại Q: \({v_Q} = \sqrt {\frac{{2{W_{dQ}}}}{m}} = 60{\rm{\;cm/s}}\).

Do \({v_P} > {v_Q}\) nên li độ \(\left| {{x_P}} \right| < \left| {{x_Q}} \right|:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x_P}} \right| = A - 4}\\{\left| {{x_Q}} \right| = A - 2}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v_P^2 = {\omega ^2}\left( {{A^2} - x_P^2} \right)}\\{v_Q^2 = {\omega ^2}\left( {{A^2} - x_Q^2} \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v_P^2 = 8{\omega ^2}\left( {A - 2} \right)}\\{v_Q^2 = 4{\omega ^2}\left( {A - 1} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Giải hệ ta được: \(A = 10{\rm{\;cm}}\) và \(\omega = 10{\rm{rad}}/{\rm{s}}\).

Quãng đường \(PQ = OP + OQ\)\( = \left( {A - 4} \right) + \left( {A - 2} \right) = 14{\rm{\;cm}}{\rm{.\;}}\)

Thời gian vật đi từ P đến Q là \({\rm{\Delta }}t\) với: \({\rm{\Delta }}t = \frac{{{\rm{\Delta }}\varphi }}{\omega }\).

\({\rm{\Delta }}\varphi = \pi - \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) = \frac{\pi }{2}\), với \({\rm{cos}}{\varphi _1} = \frac{{{\rm{OP}}}}{{\rm{A}}};{\rm{cos}}{\varphi _2} = \frac{{{\rm{OQ}}}}{{\rm{A}}} \Rightarrow {\rm{\Delta t}} = \frac{{\rm{T}}}{4} = \frac{\pi }{{20}}\)

\( \Rightarrow \) Tốc độ trung bình khi vật đi từ P đến Q: \(\overline v = \frac{{PQ}}{{{\rm{\Delta }}t}} = \frac{{14}}{{\frac{\pi }{{20}}}} \approx 89{\rm{\;cm/s}}\).

Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: \({\rm{\Delta }}{l_0} = \frac{{\rm{g}}}{{{\omega ^2}}} = \frac{{10}}{{500}} = 2{\rm{\;cm}}\).

Biên độ dao động \(A = 4{\rm{\;cm}}\).

Do \(A > {\rm{\Delta }}{l_0}\) nên \({F_{{\rm{min}}}} = 0\) (lúc lò xo không biến dạng).

Độ cứng của lò xo: \(k = \frac{{mg}}{{{\rm{\Delta }}{l_0}}} = \frac{{0,1 \cdot 10}}{{0,02}} = 50{\rm{\;N/m}}\).

Lực đàn hồi cực đại \({F_{{\rm{max}}}} = k\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + A} \right) = 50.0,06 = 3{\rm{\;N}}\).

\(\frac{{{F_{{\rm{max}}}}}}{{{F_{{\rm{min}}}}}} = \frac{{k\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + A} \right)}}{{k\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} - A} \right)}} = \frac{7}{3} \Rightarrow 3\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + A} \right) = 7\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} - A} \right)\)\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}{l_0} = 2,5{\rm{\;A}} = 25{\rm{\;cm}} = 0,25{\rm{\;m}}\).

Với \({\rm{\Delta }}{l_0}\) là độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng.

\(\omega = \sqrt {\frac{g}{{{\rm{\Delta }}{l_0}}}} = \sqrt {\frac{{10}}{{0,25}}} = 2\pi \left( {{\rm{rad}}/{\rm{s}}} \right) \Rightarrow f = \frac{\omega }{{2\pi }} = 1{\rm{\;Hz}}\).

Khi động năng bằng thế năng: \({{\rm{W}}_{\rm{t}}} = {{\rm{W}}_{\rm{d}}}\), ta có:

\(2{\rm{\;}}{{\rm{W}}_{\rm{t}}} = {\rm{W}} \Leftrightarrow 2\frac{{{\rm{mgl}}{\alpha ^2}}}{2} = \frac{{{\rm{mgl}}\alpha _{{\rm{max}}}^2}}{2} \Rightarrow \alpha = \pm \frac{{{\alpha _{{\rm{max}}}}\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi \({\rm{\Delta }}{l_0}\) là độ dãn của lò xo tại vị trí cân bằng, ta có: \({\rm{\Delta }}{l_0} = 2,5{\rm{\;cm}} = 0,025{\rm{\;m}}\).

Tại vị trí cân bằng: \({\rm{k}} \cdot {\rm{\Delta }}{l_0} = {\rm{mg}} \Rightarrow {\rm{k}} = \frac{{{\rm{mg}}}}{{{\rm{\Delta }}{l_0}}} = \frac{{0,1 \cdot 10}}{{0,025}} = 40{\rm{\;N/m}}\).

\(\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{40}}{{0,1}}} = 20{\rm{rad/s}}\).

Theo đề bài, khi \({\rm{t}} = 0\) thì \({\rm{x}} = - 2{\rm{\;cm}}\) và \({\rm{v}} = - 40\sqrt 3 {\rm{\;cm/s}}\)

\( \Rightarrow A = \sqrt {{x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \sqrt {{{( - 2)}^2} + \frac{{{{(40\sqrt 3 )}^2}}}{{{{(20)}^2}}}} = 4{\rm{\;cm}}\).

Vậy tại thời điểm \(t = 0\) thì \(x = - 2\,cm = - \frac{A}{2}\) và \(v < 0\), nên \(\varphi = \frac{{2\pi }}{3}\), phương trình dao động là: \(x = 4{\rm{cos}}\left( {20t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Cơ năng của dao động: \(W = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2} \cdot 0,1{(20)^2}{(0,04)^2} = 0,032{\rm{\;J}}\)

Khi thế năng bằng \(\frac{1}{3}\) động năng;

\({W_t} = \frac{1}{3}{W_d} \Leftrightarrow W = 4{W_t} \Leftrightarrow \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 4\frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2}\)

\(\; \Rightarrow x = \pm \frac{A}{2} = \pm 2{\rm{\;cm}};{W_t} = \frac{W}{4} \Rightarrow {W_d} = \frac{{3W}}{4} = \frac{{3.0,032}}{4} = 0,024{\rm{\;J}}\)

\(\; \Rightarrow v = \pm \sqrt {\frac{{2{W_d}}}{m}} = \pm \sqrt {\frac{{2 \cdot 0,024}}{{0,1}}} = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{5}{\rm{\;m}}/{\rm{s}}.\)

Khi \(x = 0,02\sqrt 2 {\rm{\;m}}\), ta có thế năng:

\({W_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 0,1{(20)^2}{(0,02\sqrt 2 )^2} = 0,016{\rm{\;J}}.\)

Động năng \({W_d} = W - {W_t} = 0,032 - 0,016 = 0,016{\rm{\;J}}\).

Vận tốc của vật khi đó: $v=\pm \sqrt{\frac{2W_{\text{đ}}}{m}}=\pm \sqrt{\frac{2\cdot 0,016}{0,1}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{5}\text{ m}/\text{s}$.

Khi lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên giá treo đạt cực đại thì độ biến dạng của lò xo là: \({\rm{\Delta }}{l_{{\rm{max}}}} = \left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + {\rm{A}}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Lực đàn hồi cực đại \({F_{{\rm{max}}}} = k\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + A} \right) = 40\left( {2,5 + 4} \right) \cdot {10^{ - 2}} = 2,6{\rm{\;N}}\).

Lò xo có chiều dài cực đại: \({l_{{\rm{max}}}} = \left( {{l_0} + {\rm{\Delta }}{l_0} + {\rm{A}}} \right) = 50 + 2,5 + 4 = 56,5{\rm{\;cm}}\).

Vì \(A > {\rm{\Delta }}l\), nên trong quá trình dao động có lúc vật qua vị trí lò xo không biến dạng, khi đó: \({\rm{\Delta }}{l_{{\rm{min}}}} = 0 \Rightarrow \) Lực đàn hồi cực tiểu \({F_{{\rm{min}}}} = 0\). Khi đó, lò xo có chiều dài tự nhiên: \({l_0} = 50{\rm{\;cm}}\).

Khi chưa được thả ra vật nặng đứng yên, nên động năng bằng 0, cả hai lò xo đều bị biến dạng và dự trữ năng lượng dưới dạng thế năng. Khi được thả ra, lò xo bên trái đang bị dãn sẽ kéo vật nặng sang trái, lò xo bên phải đang bị nén sẽ đẩy vật sang trái. Vậy, vật sẽ chuyển động sang trái và động năng của vật tăng còn thế năng của hệ hai lò xo và vật nặng giảm, tới khi hai lò xo có chiều dài tự nhiên thì thế năng của hệ bằng 0 và động năng đạt cực đại.

Chọn trục toạ độ Ox như Hình 5.2G.

Tần số góc của dao động: \(\omega = \sqrt {\frac{{\rm{k}}}{{\rm{m}}}} = \sqrt {\frac{{270}}{{83}}} \approx 1,8{\rm{rad}}/{\rm{s}}\)

Lực phục hồi khi dây đàn hồi dãn 5 m so với độ dài tự nhiên là:

\({\rm{F}} = {\rm{k}}\left( {{\rm{\Delta }}{l_0} + {\rm{x}}} \right) - {\rm{mg}}\)\( = 270 \cdot 5 - 83 \cdot 9,8 = 537{\rm{\;N}}\).

\( \Rightarrow {\rm{x}} = \frac{{\rm{F}}}{{\rm{k}}} = \frac{{537}}{{270}} = 1,99{\rm{\;m}}\).

Do đó, \(v = 0 \Rightarrow x = A\), nên \(A = 1,99{\rm{\;m}}\)

\( \Rightarrow {x_{\left( t \right)}} = A{\rm{cos}}\left( {\omega t} \right) = 1,99{\rm{cos}}\left( {1,8t} \right)\left( m \right)\).

\({v_{\left( t \right)}} = - A\omega {\rm{sin}}\left( {\omega t} \right) = - 3,58{\rm{cos}}\left( {1,8t} \right)\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Vậy khi \(t = 2{\rm{\;s}}\) thì \(x = - 1,78{\rm{\;m}}\) và \(v = 1,58{\rm{\;m/s}}\).