Lấy K là trung điểm của BC.

Xét tam giác BCD có N là trung điểm BD, K là trung điểm BC nên NK là đường trung bình. Do đó NK // CD và $NK=\frac{DC}{2}=a$.

Xét tam giác ABC có M là trung điểm AC, K là trung điểm BC nên MK là đường trung bình. Do đó MK // AB và $MK=\frac{AB}{2}=\sqrt{2}a$.

Có MN² = 3a² ; NK² + MK² = $a^2+{\left(\sqrt{2}a\right)}^2=3a^2$.

Do đó MN² = NK² + MK² nên tam giác MNK là tam giác vuông tại K hay NK ^ MK.

Lại có MK // AB, NK // CD nên (AB, CD) = (MK, NK) = 90° hay AB ^ CD.

a) Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a và đáy ABCD là hình vuông nên

SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a.

Xét tam giác ADB vuông tại A, có BD² = AD² + AB² = a² + a² = 2a².

Mà SB² + SD² = a² + a² = 2a². Do đó SB² + SD² = BD² nên tam giác SBD vuông tại S.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, AB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, do đó MN // SB.

Khi đó (MN, SD) = (SB, SD) = 90°.

Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình vuông nên O là trung điểm AC, BD.

Xét tam giác SAC có M là trung điểm SA, O là trung điểm AC nên MO là đường trung bình, suy ra MO // SC.

Khi đó (MO, SB) = (SC, SB) = $\widehat{BSC}=60°$ (do tam giác SBC là tam giác đều).

b) Xét tam giác ABC có O là trung điểm AC, N là trung điểm AB nên ON là đường trung bình, suy ra ON // BC.

Vì ON // BC nên (SN, BC) = (SN, ON) = $\widehat{SNO}$.

Vì tam giác SAC có SA = SC = a nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao.

Vì BD² = 2a² và  ABCD là hình vuông nên $AC=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác SOC vuông tại O, có:

SC² = SO² + OC² $\iff a^2=S{O}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2\iff SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì ON là đường trung bình của tam giác ABC nên $ON=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác đều SAB có SN là trung tuyến đồng thời là đường cao hay SN ^ AB.

Xét tam giác vuông SNB vuông tại N, ta có:

SN² + NB² = SB² $\iff S{N}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2\iff S{N}^2=\frac{3a^2}{4}$

Lại có $S{O}^2+O{N}^2={\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$. Do đó tam giác SON vuông tại O.

Xét tam giác vuông SON vuông tại O có $\tan \widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\sqrt{2}$.

Vậy tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC là $\sqrt{2}$.

Gọi A, B là hai điểm tại hai vị trí chân thang và C, D là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường.

Ta có EF // AB nên (EF, AC) = (AB, AC) = $\widehat{BAC}$.

Kẻ CH ^ AB tại H, DK ^ AB tại K.

Ta có CDKH là hình chữ nhật nên CH = DK, CD = HK.

Xét DCHA và DDKB có

CA = DB, $\widehat{CHA}=\widehat{DKB}=90°$, CH = DK nên DCHA = DDKB (c – g – c).

Suy ra AH = KB.

Khi đó $AH=\frac{AB-CD}{2}=10$ (cm) = 0,1 (m).

Vì tam giác ACH vuông tại H nên $\text{cos}\widehat{CAH}=\frac{AH}{AC}=\frac{0,1}{6}=\frac{1}{60}\Rightarrow \widehat{CAH}\approx 89,05°$.

Do đó, $\widehat{BAC}\approx 89,05°$.

Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang khoảng 89,05°.