Lời giải

Với  $x_0\ne 0$, ta có:

 $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{x-x_0}$

 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x{x}_0}+\sqrt[3]{{x_0}^2}\right)}$

 $=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x{x}_0}+\sqrt[3]{{x_0}^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{{x_0}^2}}$.

Vậy   $y^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\left(x\ne 0\right)$.

Ta có  $y^{\text{'}}=2x$.

a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm (−1; 1) có hệ số góc  $y^{\text{'}}(-1)=2.\left(-1\right)=-2$.

b) Gọi giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2 là M(x₀; y₀).

Ta có  $x_0^2=-3x_0+2\iff x_0^2+3x_0-2=0$

 $\iff x_0=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$; $x_0=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.

• Với  $x_0=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc của tiếp tuyến là  $y^{\text{'}}\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)=-3+\sqrt{17}$.

• Với  $x_0=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc của tiếp tuyến là  $y^{\text{'}}\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)=-3-\sqrt{17}$.

a) Ta có

•  $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$;

•  $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2-x+2\right)=2^2-2+2=4$.

Vì  $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{3}\ne 4=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên f(x) gián đoạn tại 2, do đó f(x) không có đạo hàm tại 2.

b) Ta có

•  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{2}{x}+1\right)=\frac{2}{1}+1=3$;

•  $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=1^2+2=3$.

Vì  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên f(x) liên tục tại 1.

Ta lại có

 

• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}$

 $=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+3\right)=1+3=4$.

•  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\frac{2}{x}\text{+1}-3}{x-1}$

 $=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\frac{2}{x}-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2-2x}{x\left(x-1\right)}$

 $=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }-\frac{2}{x}=\frac{-2}{1}=-2$.

Vì  $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$ nên không tồn tại  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$.

Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 1.

Ta có  $y^{\text{'}}=(x^3-2x^2+1{)}^{\text{'}}=3x^2-2.2x=3x^2-4x$.

a) Gọi d₁ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M₀(x₀; y₀) là tiếp điểm của (C) và d₁.

Vì d₁ song song với đường thẳng y = −x + 2 nên  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-1$.

Suy ra  $3x_0^2-4x_0=-1\iff 3x_0^2-4x_0+1=0\iff x_0=1$ hoặc  $x_0=\frac{1}{3}$.

− Với $x_0=1$, phương trình tiếp tuyến tại điểm  $M_0\left(1;0\right)$ có hệ số góc  $y^{\text{'}}\left(1\right)=-1$ là:

 $y-y_0=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

  $\iff y-0=-1\left(x-1\right)\iff y=-x+1$.

− Với  $x_0=\frac{1}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại điểm  $M_0\left(\frac{1}{3};\frac{22}{27}\right)$ có hệ số góc  $y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)=-1$ là:

 $y-y\left(\frac{1}{3}\right)=y^{\text{'}}\left(\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$

 $\iff y-\frac{22}{27}=-1\left(x-\frac{1}{3}\right)$

 $\iff y=-x+\frac{31}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là:  $d_1:y=-x+1$ và  $d_2:y=-x+\frac{31}{27}$.

Ta có  $s^{\text{'}}\left(t\right)={\left(2t^2+5t+2\right)}^{\text{'}}=2.2t+5=4t+5$.

Vận tốc tức thời tại điểm t = 4 là  $s^{\text{'}}\left(4\right)=4.4+5=21$ .