Gọi a và b lần lượt là hai đường thẳng đi qua A và vuông góc với d.

Do a và b cùng vuông góc với d nên a // b hoặc a trùng b.

Mà a và b cắt nhau tại A nên a không thể song song với b.

Do đó a trùng b.

Vậy cho điểm A và đường thẳng d thì có duy nhất đường thẳng đi qua A vuông góc với d.

Do a // b, b // c nên a // c.

Do $m\perp a,n\perp a$ nên m // n.

Các cặp đường thẳng song song là: a – b, b – c, a – c, m – n.

Do đó trên hình có 4 cặp đường thẳng song song.

Do a // b, $m\perp a$ nên $m\perp b.$

Do a // c, $m\perp a$ nên $m\perp c.$

Do a // b, $n\perp a$ nên $n\perp b.$

Do a // c, $n\perp a$ nên $n\perp c.$

Các cặp đường thẳng vuông góc là: m – a, m – b, m – c, n – a, n – b, n – c.

Do đó trên hình có 6 cặp đường thẳng vuông góc.

Kẻ tia Cz song song với Ax, do đó Cz song song với By.

Do Ax song song với Cz nên $\widehat{CAx}=\widehat{ACz}$ (2 góc so le trong).

Do By song song với Cz nên $\widehat{CBy}=\widehat{BCz}$ (2 góc so le trong).

Khi đó $\widehat{AC\text{z}}+\widehat{BC\text{z}}=\widehat{CAx}+\widehat{CBy}.$

hay $\widehat{C}=\widehat{A}+\widehat{B}.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

a) Do Ox và $Ox\text{'}$ là hai tia đối nhau nên $\widehat{xO{x}^{\text{'}}}=180°.$

Oy là tia nằm giữa hai tia Ox và $Ox\text{'}$ nên $\widehat{x^{\text{'}}Oy}+\widehat{\text{yOx}}=180°.$

Khi đó $\widehat{x^{\text{'}}Oy}+\widehat{\text{yOx}}=\left(\widehat{O_1}+\widehat{O_2}\right)+\widehat{O_3}=\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=180°.$

Vậy tổng ba góc O₁, O₂, O₃ bằng $180°.$

b) Ta có: $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=180°$ nên $\widehat{O_2}=180°-\widehat{O_1}-\widehat{O_3}=180°-60°-70°=50°.$

Vậy $\widehat{O_2}=50°.$

Kẻ Ot là tia đối của tia Oy.

Do Ot là tia đối của Oy nên $\widehat{tOy}=180°.$

hay $\widehat{y\text{O}z}+\widehat{zOt}=180°.$

Do đó $\widehat{zOt}=180°-\widehat{y\text{O}z}=180°-110°=70°.$

Có $\widehat{tOy}=180°$ hay $\widehat{y\text{Ox}}+\widehat{xOt}=180°.$

Do đó $\widehat{xOt}=180°-\widehat{y\text{Ox}}=180°-120°=60°.$

Do đó $\widehat{xOz}=\widehat{zOt}+\widehat{xOt}=70°+60°=130°.$

Vậy $\widehat{xOz}=130°.$