Ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. Gọi hai tam giác vuông này lần lượt là ABC (vuông tại A) và $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (vuông tại $A\text{'}$) trong đó AB và $A\text{'}B\text{'}$ lần lượt là hai chiếc cột, góc B và góc $B\text{'}$ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với hai cột.

Khi đó ta có $AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}},\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}.$

Xét hai tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

$AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ (theo giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (cùng bằng 90^o).

Do đó $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (g – c – g).

Khi đó $AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (2 cạnh tương ứng) hay bóng của hai chiếc cột bằng nhau.

Vậy bạn Tròn nói đúng.

Xét hai tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có:

$AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ (theo giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (cùng bằng 90^o).

$AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (c – g – c).

Xét hai tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (theo giả thiết)

$AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ (theo giả thiết)

$\widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (cùng bằng 90^o)

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (g – c – g).

Gọi hai tam giác vuông này lần lượt là ABC (vuông tại A) và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ (vuông tại $A\text{'}$) trong đó AB và $A\text{'}B\text{'}$ lần lượt là hai chiếc cột, góc B và góc $B\text{'}$ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với hai cột.

Khi đó ta có $AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}},\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}.$

Xét hai tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

$AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ (theo giả thiết).

$\widehat{BAC}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (cùng bằng 90^o).

Do đó $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (g – c – g).

Khi đó $AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (2 cạnh tương ứng) hay bóng của hai chiếc cột bằng nhau.

Vậy bạn Tròn nói đúng.

a) Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°.$

Do đó $\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ (1).

Xét tam giác $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có $\widehat{A^{\text{'}}}+\widehat{B^{\text{'}}}+\widehat{C^{\text{'}}}=180°.$

Do đó $\widehat{C^{\text{'}}}=180°-\widehat{A^{\text{'}}}-\widehat{B^{\text{'}}}$ (2).

Mà $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=90°,\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (theo giả thiết) nên từ (1) và (2) có $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.$

Xét hai tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có:

$\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ (theo giả thiết).

$BC=B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (theo giả thiết).

$\widehat{ACB}=\widehat{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (g – c – g).

b) Do $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ nên $AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (2 cạnh tương ứng) hay hai con dốc có độ cao bằng nhau.

Vậy hai con dốc có độ cao bằng nhau.

Xét hai tam giác ABC vuông tại A và XYZ vuông tại X có:

$\widehat{ACB}=\widehat{X\text{Z}Y}$ (theo giả thiết).

AC = XZ (theo giả thiết).

Do đó $\Delta ABC=\Delta XYZ$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác DEF vuông tại D và GHK vuông tại G có:

$\widehat{DF\text{E}}=\widehat{GKH}$ (theo giả thiết).

EF = HK (theo giả thiết).

Do đó $\Delta D\text{EF}=\Delta GHK$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác MNP vuông tại M và RTS vuông tại R có:

MN = RT (theo giả thiết).

MP = RS (theo giả thiết).

Do đó $\Delta MNP=\Delta RT\text{S}$ (2 cạnh góc vuông).

Vậy $\Delta ABC=\Delta XYZ,\Delta D\text{EF}=\Delta GHK,\Delta MNP=\Delta RT\text{S}.$

Do Oz là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat{xOz}=\widehat{y\text{O}z}.$

Mà M thuộc tia Oz, A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy nên $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}.$

Do $MA\perp OA,MB\perp OB$ nên tam giác OAM vuông tại A, tam giác OBM vuông tại B.

Xét hai tam giác OAM vuông tại A và OBM vuông tại B có:

$\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (chứng minh trên).

OM chung.

Do đó $\Delta OAM=\Delta OBM$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy MA = MB (2 cạnh tương ứng).

Ta thực hiện vẽ theo các bước như sau:

Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

Bước 2. Vẽ tia Ax vuông góc với AB tại A.

Bước 3. Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm. Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

Nối BC ta được tam giác ABC.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia, ta đo được $AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=4cm.$

b) Xét hai tam giác ABC vuông tại A và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ vuông tại $A\text{'}$ có:

$AB=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ (cùng bằng 3 cm).

$AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (cùng bằng 4 cm).

Vậy $\Delta ABC=\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ (2 cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác ABC vuông tại A và GHK vuông tại G có:

AB = GH (theo giả thiết).

BC = HK (theo giả thiết).

Do đó $\Delta ABC=\Delta GHK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác DEF vuông tại D và MNP vuông tại M có:

DF = MP (theo giả thiết).

EF = NP (theo giả thiết).

Do đó $\Delta D\text{EF}=\Delta MNP$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $\Delta ABC=\Delta GHK,\Delta D\text{EF}=\Delta MNP.$

Do A, B, C nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB = OC.

Xét hai tam giác ONA vuông tại N và ONC vuông tại N có:

OA = OC (chứng minh trên).

ON chung.

Do đó $\Delta ON\text{A}=\Delta ONC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OMB vuông tại M và OMC vuông tại M có:

OB = OC (chứng minh trên).

OM chung.

Do đó $\Delta OMB=\Delta OMC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OPA vuông tại P và OPB vuông tại P có:

OA = OB (chứng minh trên).

OP chung.

Do đó $\Delta OPA=\Delta OPB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $\Delta ON\text{A}=\Delta ONC,\Delta OMB=\Delta OMC,\Delta OPA=\Delta OPB.$

Xét hai tam giác BAH vuông tại H và $B^{\text{'}}{H}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ vuông tại $H^{\text{'}}$ có:

$BA=B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ (theo giả thiết).

$BH=B^{\text{'}}{H}^{\text{'}}$ (theo giả thiết).

Do đó $\Delta BAH=\Delta B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $\widehat{BAH}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}$ (2 góc tương ứng).

a) Xét hai tam giác ACB vuông tại C và ACD vuông tại C có:

$\widehat{CAB}=\widehat{CA\text{D}}$ (theo giả thiết).

AC chung.

Vậy $\Delta ACB=\Delta AC\text{D}$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

b) Xét hai tam giác EGH vuông tại E và FHG vuông tại F có:

EH = FG (theo giả thiết).

HG chung.

Vậy $\Delta EGH=\Delta FHG$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) Xét hai tam giác QMK vuông tại M và NMP vuông tại M có:

QK = NP (theo giả thiết).

$\widehat{QKM}=\widehat{NPM}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta QMK=\Delta NMP$ (cạnh huyền – góc nhọn).

d) Xét hai tam giác VST vuông tại S và UTS vuông tại T có:

VS = UT (theo giả thiết).

ST chung.

Vậy $\Delta V\text{S}T=\Delta UTS$ (2 cạnh góc vuông).

Xét tam giác ABE có $\widehat{BAE}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=180°.$

Do đó $\widehat{ABE}=180°-\widehat{BAE}-\widehat{AEB}$ (1).

Xét tam giác DCE có $\widehat{CDE}+\widehat{DCE}+\widehat{\text{D}EC}=180°.$

Do đó $\widehat{DCE}=180°-\widehat{CDE}-\widehat{DEC}$ (2).

Mà $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{C\text{D}E}=90°,\widehat{A\text{E}B}=\widehat{DEC}$ (2 góc đối đỉnh) nên từ (1) và (2) có $\widehat{ABE}=\widehat{DCE}.$

Xét hai tam giác ABE vuông tại A và DCE vuông tại E có:

$\widehat{ABE}=\widehat{DCE}$ (chứng minh trên).

AB = DC (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABE=\Delta DCE$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC}=\widehat{BC\text{D}}=90°,AB=C\text{D}.$

Hay $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}=90°.$

Do đó tam giác ABM vuông tại B, tam giác DCM vuông tại C.

Do M là trung điểm của cạnh BC nên MB = MC.

Xét hai tam giác ABM vuông tại B và DCM vuông tại C có:

AB = CD (chứng minh trên).

MB = MC (chứng minh trên).

Vậy $\Delta ABM=\Delta DCM$ (2 cạnh góc vuông).