Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta làm một trong hai cách sau:

Cách 1. Cộng, trừ đa thức theo hàng ngang:

- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

- Viết tổng (hiệu) hai đa thức theo hàng ngang;

- Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Cách 2. Cộng, trừ đa thức theo cột dọc:

- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

- Đặt phép tính cộng, trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số.

a) Ta có:

5x² + 7x² = (5 + 7)x² = 12x².

ax^k + bx^k = (a + b)x^k (k $\in {\mathbb{N}}^{*}$).

b) Quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến:

Để cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

a) P(x) = 5x² + 4 + 2x = 5x² + 2x + 4.

Q(x) = 8x + x² + 1 = x² + 8x + 1.

b)

c) Đa thức R(x) = 6x² + 10x + 5.

Bạn Dũng viết như trên là không đúng do hai đơn thức có cùng số mũ của biến chưa ở cùng cột.

Sửa lại như sau:

$\begin{array}{l}+\underset{¯}{\begin{array}{c}\begin{array}{l}P\left(x\right)=6{\text{x}}^2+3\text{x}-1\\ Q\left(x\right)=8x^2+2\text{x\hspace{0.17em}}+6\end{array}\end{array}}\\ P\left(x\right)+Q\left(x\right)=14{\text{x}}^2+5\text{x}+5\end{array}$ 

a) P(x) = -2x² + 1 + 3x = -2x² + 3x + 1.

Q(x) = -5x + 3x² + 4 = 3x² + (-5x) + 4 = 3x² - 5x + 4.

b) P(x) + Q(x) = (-2x² + 3x + 1) + (3x² - 5x + 4)

= -2x² + 3x + 1 + 3x² - 5x + 4.

c) P(x) + Q(x) = (-2x² + 3x²) + (3x - 5x) + (1 + 4).

d) P(x) + Q(x) = (-2x² + 3x²) + (3x - 5x) + (1 + 4)

= x² - 2x + 5.

Cách 1. Tính tổng theo hàng ngang:

P(x) + Q(x) = (2x³ + $\frac{3}{2}$x² + 5x - 2) + (-8x³ + 4x² + 6 + 3x)

= 2x³ + $\frac{3}{2}$x² + 5x - 2 - 8x³ + 4x² + 6 + 3x

= (2x³ - 8x³) + ($\frac{3}{2}$x² + 4x²) + (5x + 3x) + (-2 + 6)

= -6x³ + $\frac{11}{2}$x² + 8x + 4.

Vậy P(x) + Q(x) = -6x³ + $\frac{11}{2}$x² + 8x + 4.

Cách 2. Tính tổng theo cột dọc:

$\begin{array}{l}\underset{¯}{+\begin{array}{c}\begin{array}{l}P\left(x\right)=2{\text{x}}^3+\frac{3}{2}{x}^2+5\text{x}-2\\ Q\left(x\right)=-8{\text{x}}^3+4{\text{x}}^2+3\text{x}+6\end{array}\end{array}}\\ P\left(x\right)+Q\left(x\right)=-6{\text{x}}^3+\frac{11}{2}{x}^2+8x+4\end{array}$

Vậy P(x) + Q(x) = -6x³ + $\frac{11}{2}$x² + 8x + 4.

a) Ta có:

2x² - 6x² = (2 - 6)x² = -4x².

ax^k - bx^k = (a - b)x^k (k $\in {\mathbb{N}}^{*}$).

b) Quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến:

Để trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta trừ hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

a) Ta có:

P(x) = 4x² + 1 + 3x = 4x² + 3x + 1.

Q(x) = 5x + 2x² + 3 = 2x² + 5x + 3.

b)

c) Đa thức S(x) = 2x² - 2x - 2.

Sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần số mũ của biến và đặt phép tính ta được:

$\begin{array}{l}-\underset{¯}{\begin{array}{c}\begin{array}{l}2{\text{x}}^2-5\text{x}-\frac{1}{3}\\ -6{\text{x}}^4+5{\text{x}}^2+3\text{x}+\frac{2}{3}\end{array}\end{array}}\\ 6{\text{x}}^4-3{\text{x}}^2-8\text{x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-1\end{array}$

Vậy P(x) - Q(x) = 6x⁴ - 3x² - 8x - 1.

a) Ta có:

P(x) = -3x² + 2 + 7x = -3x² + 7x + 2.

Q(x) = -4x + 5x² + 1 = 5x² + (-4x) + 1 = 5x² - 4x + 1.

b) P(x) - Q(x) = -3x² + 7x + 2 - (5x² - 4x + 1)

c) P(x) - Q(x) = -3x² + 7x + 2 - (5x² - 4x + 1)

= -3x² + 7x + 2 - 5x² + 4x - 1

= (-3x² - 5x²) + (7x + 4x) + (2 - 1)

d) P(x) - Q(x) = (-3x² - 5x²) + (7x + 4x) + (2 - 1)

= -8x² + 11x + 1.

Vậy P(x) - Q(x) = -8x² + 11x + 1.

Cách 1. Tính hiệu theo hàng ngang:

P(x) - Q(x) = 6x³ + 8x² + 5x - 2 - (-9x³ + 6x² + 3 + 2x)

= 6x³ + 8x² + 5x - 2 + 9x³ - 6x² - 3 - 2x

= (6x³ + 9x³) + (8x² - 6x²) + (5x - 2x) + (-2 - 3)

= 15x³ + 2x² + 3x - 5.

Vậy P(x) - Q(x) = 15x³ + 2x² + 3x - 5.

Cách 2. Tính hiệu theo cột dọc:

Q(x) = -9x³ + 6x² + 3 + 2x = -9x³ + 6x² + 2x + 3.

$\begin{array}{l}-\underset{¯}{\begin{array}{c}\begin{array}{l}6{\text{x}}^3\\ -9{\text{x}}^3\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{l}+\\ +\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{l}8{\text{x}}^2\\ 6{\text{x}}^2\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{l}+\\ +\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{l}5\text{x}\\ 2\text{x}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{l}-\\ +\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\end{array}}\\ 15x^3+2{\text{x}}^2+3\text{x}-5\end{array}$

Vậy P(x) - Q(x) = 15x³ + 2x² + 3x - 5.

a) R(x) + S(x) = (-8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1) + (x⁴ - 8x³ + 2x + 3)

= -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 + x⁴ - 8x³ + 2x + 3

= (-8x⁴ + x⁴) + (6x³ - 8x³) + 2x² + (-5x + 2x) + (1 + 3)

= -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

Vậy R(x) + S(x) = -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

b) R(x) - S(x) = (-8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1) - (x⁴ - 8x³ + 2x + 3)

= -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 - x⁴ + 8x³ - 2x - 3

= (-8x⁴ - x⁴) + (6x³ + 8x³) + 2x² + (-5x - 2x) + (1 - 3)

= -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2

Vậy R(x) - S(x) = -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2.

Ta có:

A(x) + B(x) = -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 + 8x⁵ + 8x³ + 2x - 3

= (-8x⁵ + 8x⁵) + 6x⁴ + 8x³ + 2x² + (-5x + 2x) + (1 - 3)

= 6x⁴ + 8x³ + 2x² - 3x - 2

Khi đó bậc của đa thức A(x) + B(x) bằng 4.

A(x) - B(x) = -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 - (8x⁵ + 8x³ + 2x - 3)

= -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 - 8x⁵ - 8x³ - 2x + 3

= (-8x⁵ - 8x⁵) + 6x⁴ - 8x³ + 2x² + (-5x - 2x) + (1 + 3)

= -16x⁵ + 6x⁴ - 8x³ + 2x² - 7x + 4

Khi đó bậc của đa thức A(x) - B(x) bằng 5.

a) Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:

80 . (x + 1,5)% = $80.\frac{x+\mathrm{1,5}}{100}$ = $\frac{4}{5}$(x + 1,5) (triệu đồng).

Khi đó tổng cả gốc và lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:

80 + $\frac{4}{5}$(x + 1,5) (triệu đồng).

b) Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ nhất là:

90 . x% = 90 . $\frac{x}{100}$ = $\frac{9}{10}$x (triệu đồng).

Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở cả hai ngân hàng là:

$\frac{4}{5}$(x + 1,5) + $\frac{9}{10}$x (triệu đồng).

Tiền gốc bác Ngọc gửi ở hai ngân hàng là:

90 + 80 = 170 (triệu đồng).

Khi đó tổng cả gốc và lãi bác Ngọc nhận được ở hai ngân hàng là:

170 + $\frac{4}{5}$(x + 1,5) + $\frac{9}{10}$x (triệu đồng).

Thể tích nước trong can ban đầu là 10 lít = 10 dm³.

Thể tích nước trong bể khi mực nước có chiều cao h (cm) là:

20 . 20 . h = 400h (cm³).

Đổi 400h cm³ = 0,4h dm³.

Thể tích nước trong bể bằng thể tích nước trong can rót ra nên thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (dm³).

Minh và Quân nói như vậy là không đúng do tổng hoặc hiệu của hai đa thức bậc bốn có thể không phải là đa thức bậc bốn.

Chẳng hạn:

A(x) = x⁴ + 1; B(x) = -x⁴ + x³; C(x) = x⁴.

Khi đó A(x) + B(x) = x⁴ + 1 + (-x⁴ + x³) = x⁴ + 1 - x⁴ + x³ = (x⁴ - x⁴) + x³ + 1 = x³ + 1 là đa thức bậc ba.

A(x) - C(x) = x⁴ + 1 - x⁴ = (x⁴ - x⁴) + 1 = 1 là đa thức bậc không.