Ba địa điểm được minh họa trên tạo thành ba đỉnh của một tam giác.

Khi đó vị trí cách đều ba địa điểm đó là giao điểm ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba địa điểm trên.

Vẽ đường thẳng d vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Khi đó d là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Ta có hình vẽ sau:

Ta thấy các đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm O.

Trong hình, đường thẳng qua O và cắt AC không vuông góc với AC nên O không phải giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB.

Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên OB = OC.

Do đó OA = OB = OC.

Do OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do OB = OC nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Ta có hình vẽ sau:

b) Ta có hình vẽ sau:

c) Ta có hình vẽ sau:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.

Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Suy ra CA = CB.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ I đến BC, CA, AB.

Do I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên IM = IN = IP.

Do I là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên I nằm trên đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Suy ra đường thẳng qua I, vuông góc với BC, CA, AB lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Do đó M, N, P lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.

Suy ra M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do AI là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$.

Xét $\Delta PAI$ vuông tại P và $\Delta NAI$ vuông tại N có:

AI chung.

$\widehat{PAI}=\widehat{NAI}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta PAI=\Delta NAI$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó PA = NA (2 cạnh tương ứng).

Mà P là trung điểm của AB nên PA = $\frac{1}{2}$BA; N là trung điểm của CA nên NA = $\frac{1}{2}$CA.

Suy ra AB = CA.

Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.

Do đó AB = BC = CA.

Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

a) Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC.

Mà ba đường trung trực trong tam giác đồng quy nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OM $\perp$ BC.

b) Do OM $\perp$ BC nên $\Delta OMB$ và $\Delta OMC$ vuông tại M.

Xét $\Delta OMB$ vuông tại M và $\Delta OMC$ vuông tại M có:

OM chung.

MB = MC (theo giả thiết).

Do đó $\Delta OMB=\Delta OMC$ (2 cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$ (2 góc tương ứng).