Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và $f\left(0\right)+f\left(1\right)=0$. Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\frac{1}{2},\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right)\cos \pi xdx=\frac{\pi }{2}$. Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số f (x) thỏa mãn ${\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^2+f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\left(x\right)=15x^4+12x,\forall x\in R$ và $f\left(0\right)=f\text{'}\left(0\right)=1$. Giá trị của $f^2\left(1\right)$ bằng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R, f(0)=0 và $f\left(x\right)+f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x\cos x$ với mọi $x\in R$. Giá trị của tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng:

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Xét hàm số y= f(x) liên tục trên miền D=[a;b] có đồ thị là một đường cong C. Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x = a, x = b. Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S bằng ${\int }_a^b\sqrt{1+{\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^2}dx$. Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f(x)=lnx bị giới hạn bởi các đường thẳng $x=1; x=\sqrt{3}$ là $m-\sqrt{m}+\ln \frac{1+\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$ với m, n thuộc Z thì giá trị của $m^2-mn+n^2$ là bao nhiêu?

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=e^{x-1}$, các trục tọa độ và phần đường thẳng y = 2 – x với $x\ge 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất lên đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. vậy số tiền bác Năm phải trả là:

Cho tích phân ${\int }_0^{\sqrt{7}}\frac{x^{3}dx}{\sqrt[3]{1+x^2}}=\frac{m}{n}$, với $\frac{m}{n}$ là một phân số tối giản. Tính m – 7n

Cho $2\sqrt{3}m-{\int }_0^1\frac{4x^3}{(x^4+2{)}^2}dx=0$. Khi đó $144m^2-1$ bằng:

Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc $a\left(t\right)=6-3t(m/s^2)$ trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là:

Cho hàm số y = f (x) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn [0;1]. Đặt. Biết $g\left(x\right)=1+2{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ với mọi $g\left(x\right)\ge {\left[f\left(x\right)\right]}^3$. Tích phân ${\int }_0^1\sqrt[3]{{\left[g\left(x\right)\right]}^2}dx$ có giá trị lớn nhất bằng:

Cho tích phân $I={\int }_0^1\left|\frac{x^2}{2}-x+1-e^{-x}\right|dx=a.e^{-1}+b$ với a, b là các số hữu tỉ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}\frac{\tan \left(x-{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}\right)dx}{\cos 2x}$. Giá trị của biểu thức $T=2I+\sqrt{3}$ là:

Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn $\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{dx}{x\sqrt{3x+1}}=a\ln 3+b\ln 5$. Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+ab+3b^2$

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$ và f(1)=1. Tính f(-5)?

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=sin2x thỏa mãn $F\left(0\right)=\frac{3}{2}$. Tính $F\left(\frac{\pi }{2}\right)?$

Một xe mô tô phân khối lớn sau khi chờ đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường parabol (hình vẽ). Biết rằng sau 15 giây thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 60m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì quãng đường xe đi được là bao nhiêu?

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left(ax+b\sqrt{3x^2+1}\right)dx=3$, biết $3b-2a=5$. Tính $M=a^2-b^2$

Cho đồ thị hàm số y = f (x). Diện tích S của hình phẳng (Phần tô đậm trong hình dưới) là

Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{x}{\sqrt{1+x}}dx?$

Cho hàm số f (x) là hàm số chẵn và $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx=a$. Tính $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$

Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{3}x\sin xdx?$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và đường thẳng y = 2x là:

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+1,x=0$ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2+1$ tại điểm A (1; 2) quanh trục Ox là:

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường $y=\sin x, y=0, x=0, x=\mathrm{\pi }$. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (D) quay xung quanh Ox bằng:

Cho ${\int }_0^b\frac{e^x}{\sqrt{e^x+3}}dx=2$ với b thuộc K. Khi đó K có thể là khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn trên R và a là một số thực dương.

Chọn kết luận đúng:

Cho y = f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên [-a ;a]. Chọn kết luận đúng

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và ${\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx=8$. Tính $I={\int }_0^{\sqrt{2}}x.f\left(x^2\right)dx$

Biết rằng $\int e^x\cos xdx=\left(a\cos x+b\sin x\right)e^x+C\left(a;b\in R\right)$. Tính tổng T=a+b

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x^2-4x-6$, trục hoành và hai đường thẳng x = - 2, x = - 4

Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x.e^{x}dx$

Cho $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=4$. Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[x-2f\left(x\right)\right]dx$

Khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\mathrm{y}=2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2$ và trục Ox có thể tích:

Nếu f(4)=12 ; f’(x) liên tục và $\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx=17$. Tính f(1)?

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x.e^x,y=0,x=0,x=1$ xung quanh trục Ox là:

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x). trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b (a<b) xung quanh trục Ox?

Hàm số $F\left(x\right)=x^5+5x^3–x+2$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? (C là hằng số)

Cho các phát biểu sau: (với C là hằng số)

$\left(I\right)\int 0dx=x+C$

$\left(II\right)\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$

$\left(III\right)\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\left(IV\right)\int \cot xdx=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}+C$

$\left(V\right)\int e^{x}dx=e^x+C$

$\left(VI\right)\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\left(\forall n\ne -1\right)$

Số phát biểu đúng là: